Questão 3)
Calcular P_{2}(0,2) ) a partir dos dados a seguir:
i 0 1 2
\mathrm{x}_{\mathrm{i}} 0,1 0,6 0,8
\mathrm{y}_{\mathrm{i}} 1,221 3,320 4,953
RESP: 1,414

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados (peguei estes números da tabela):
  • Pedem calcular P_{2}(0,2). Aqui interpreto 0,2 como o número decimal 0{,}2.
  • Os pontos (obtidos da tabela) são:
    • x_{0}=0{,}1,\; y_{0}=1{,}221
    • x_{1}=0{,}6,\; y_{1}=3{,}320
    • x_{2}=0{,}8,\; y_{2}=4{,}953

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar:
  • Vou construir o polinômio interpolador de grau 2 na forma de Newton (facilita cálculos passo a passo). A forma geral para três pontos é
P_{2}(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}](x-x_{0})(x-x_{1}),
onde f[x_{i}] é apenas y_{i}, f[x_{i},x_{j}] é a diferença dividida de ordem 1 e f[x_{i},x_{j},x_{k}] é a diferença dividida de ordem 2.
As fórmulas das diferenças divididas que usaremos são:
f[x_{i},x_{j}]=\frac{f[x_{j}]-f[x_{i}]}{x_{j}-x_{i}}, \qquad f[x_{i},x_{j},x_{k}]=\frac{f[x_{j},x_{k}]-f[x_{i},x_{j}]}{x_{k}-x_{i}}.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_{0},x_{1}]=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}} =\frac{3{,}320-1{,}221}{0{,}6-0{,}1} =\frac{2{,}099}{0{,}5}=4{,}198.
f[x_{1},x_{2}]=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} =\frac{4{,}953-3{,}320}{0{,}8-0{,}6} =\frac{1{,}633}{0{,}2}=8{,}165.

Passo 4

Calcular a diferença dividida de segunda ordem:
f[x_{0},x_{1},x_{2}] =\frac{f[x_{1},x_{2}]-f[x_{0},x_{1}]}{x_{2}-x_{0}} =\frac{8{,}165-4{,}198}{0{,}8-0{,}1} =\frac{3{,}967}{0{,}7}=5{,}667142857\ldots
(para os cálculos práticos usarei f[x_{0},x_{1},x_{2}]\approx5{,}667142857).

Passo 5

Escrever o polinômio P_{2}(x) com os coeficientes encontrados:
P_{2}(x)=1{,}221 + 4{,}198\,(x-0{,}1) + 5{,}667142857\,(x-0{,}1)(x-0{,}6).

Passo 6

Avaliar P_{2} em x=0{,}2:
  • Calcular x- x_{0}=0{,}2-0{,}1=0{,}1.
  • Calcular x- x_{1}=0{,}2-0{,}6=-0{,}4.
  • Primeiro termo: 1{,}221.
  • Segundo termo: 4{,}198\cdot0{,}1=0{,}4198.
  • Terceiro termo: 5{,}667142857\cdot(0{,}1)\cdot(-0{,}4)=5{,}667142857\cdot(-0{,}04)=-0{,}22668571428.
    Somando:
P_{2}(0{,}2)=1{,}221+0{,}4198-0{,}22668571428\approx1{,}41411428572\ldots
Arredondando para três casas decimais (mesma notação do enunciado): 1{,}414, que coincide com a resposta informada.

Resposta

1{,}414

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