Enuncie/defina os seguintes resultados/conceitos:
-(1) Princípio de indução finita;
-(2) Algoritmo da Divisão;
-(3) Número primo;
-(4) Teorema fundamental da Aritmética
-(1) Princípio de indução finita;
-(2) Algoritmo da Divisão;
-(3) Número primo;
-(4) Teorema fundamental da Aritmética
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente enunciar e definir quatro conceitos básicos de Teoria dos Números:
- Princípio de indução finita
- Algoritmo da Divisão
- Número primo
- Teorema Fundamental da Aritmética
Então, antes de mais nada, nosso “kit de ferramentas” é: lógica matemática (pra indução), propriedades de inteiros (pra divisão e primos) e noção de fatoração. Agora vambora começar a resolver!
Passo 2
(1) Princípio de indução finita
– O que é? É um método pra provar que uma certa afirmativa vale para todo inteiro
.
– Como funciona?
a) Base: a gente mostra que é verdadeira.
b) Passo indutivo: assumimos que é verdadeira para um
(hipótese de indução) e, com isso, provamos que
também vale.
Se esses dois passos andam de boa, concluímos que é válida para todo
. É como subir um lance de escadas: mostramos que dá pra chegar no primeiro degrau (base) e que, estando em qualquer degrau
, dá pra pular pro próximo
(indução).
– O que é? É um método pra provar que uma certa afirmativa
– Como funciona?
a) Base: a gente mostra que
b) Passo indutivo: assumimos que
Se esses dois passos andam de boa, concluímos que
Passo 3
(2) Algoritmo da Divisão
– Enunciado clássico: dados inteiros e
, existem únicos inteiros
(quociente) e
(resto) tais que
– Enunciado clássico: dados inteiros
– Explicando de boa:
- Você divide
por , acha o maior que não faz o resto passar de . - O resto
é o que sobra, e por construção fica entre e .
A unicidade vem de uma “prova por contradição”: se tivesse outro par, a diferença acabaria violando .
Passo 4
(3) Número primo
– Definição simples: um inteiro é primo se os únicos divisores de
são
e
mesmo.
– Em outras palavras, não tem como “quebrar” em fatores menores além de
e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, …; já 6 não é primo porque
.
– Definição simples: um inteiro
– Em outras palavras, não tem como “quebrar”
Passo 5
(4) Teorema Fundamental da Aritmética
– Enunciado: todo inteiro pode ser escrito de um jeito único (até a ordem dos fatores) como produto de números primos.
– Enunciado: todo inteiro
onde cada
é primo e
é um expoente positivo.
– Esse teorema junta tudo: primeiro você usa o Algoritmo da Divisão pra ir “quebrando” em pedaços menores até chegar em primos; depois usa a unicidade (prova também baseada em indução e propriedades de primos) pra garantir que não tem outro jeito diferente de fazer essa fatoração.
– Esse teorema junta tudo: primeiro você usa o Algoritmo da Divisão pra ir “quebrando”
Resposta
Pronto, aí estão os quatro conceitos definidos de forma clara e sem pular etapas, do jeitinho de amigo explicando:
- Princípio de indução finita: base + passo indutivo para provar
em todos os . - Algoritmo da Divisão: para
e , existem únicos com e . - Número primo: inteiro
cujo únicos divisores são 1 e ele mesmo. - Teorema Fundamental da Aritmética: todo inteiro
se fatora de modo único em primos.