Enuncie/defina os seguintes resultados/conceitos:
-(1) Princípio de indução finita;
-(2) Algoritmo da Divisão;
-(3) Número primo;
-(4) Teorema fundamental da Aritmética

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente enunciar e definir quatro conceitos básicos de Teoria dos Números:
  1. Princípio de indução finita
  2. Algoritmo da Divisão
  3. Número primo
  4. Teorema Fundamental da Aritmética
Então, antes de mais nada, nosso “kit de ferramentas” é: lógica matemática (pra indução), propriedades de inteiros (pra divisão e primos) e noção de fatoração. Agora vambora começar a resolver!

Passo 2

(1) Princípio de indução finita
– O que é? É um método pra provar que uma certa afirmativa vale para todo inteiro .
– Como funciona?
a) Base: a gente mostra que é verdadeira.
b) Passo indutivo: assumimos que é verdadeira para um (hipótese de indução) e, com isso, provamos que também vale.
Se esses dois passos andam de boa, concluímos que é válida para todo . É como subir um lance de escadas: mostramos que dá pra chegar no primeiro degrau (base) e que, estando em qualquer degrau , dá pra pular pro próximo (indução).

Passo 3

(2) Algoritmo da Divisão
– Enunciado clássico: dados inteiros a = b,q + r e 0 <= r < b e , existem únicos inteiros (quociente) e (resto) tais que
– Explicando de boa:
  1. Você divide por , acha o maior que não faz o resto passar de .
  2. O resto é o que sobra, e por construção fica entre e .
    A unicidade vem de uma “prova por contradição”: se tivesse outro par , a diferença acabaria violando .

Passo 4

(3) Número primo
– Definição simples: um inteiro é primo se os únicos divisores de são e mesmo.
– Em outras palavras, não tem como “quebrar” em fatores menores além de e ele mesmo. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, …; já 6 não é primo porque .

Passo 5

(4) Teorema Fundamental da Aritmética
– Enunciado: todo inteiro n = p1^e1,p2^e2cdots pk^ek, pode ser escrito de um jeito único (até a ordem dos fatores) como produto de números primos.
onde cada é primo e é um expoente positivo.
– Esse teorema junta tudo: primeiro você usa o Algoritmo da Divisão pra ir “quebrando” em pedaços menores até chegar em primos; depois usa a unicidade (prova também baseada em indução e propriedades de primos) pra garantir que não tem outro jeito diferente de fazer essa fatoração.

Resposta

Pronto, aí estão os quatro conceitos definidos de forma clara e sem pular etapas, do jeitinho de amigo explicando:
  1. Princípio de indução finita: base + passo indutivo para provar em todos os .
  2. Algoritmo da Divisão: para e , existem únicos com e .
  3. Número primo: inteiro cujo únicos divisores são 1 e ele mesmo.
  4. Teorema Fundamental da Aritmética: todo inteiro se fatora de modo único em primos.

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