(Valor: 2,5 pontos) A função velocidade (em metros por segundo) é dada para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta, onde v(t) é dada por v(t)=3 t-6. Encontre:
O deslocamento no intervalo entre 0 e 3 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício tá pedindo. A velocidade de uma partícula que se move em linha reta é dada por
v(t) = 3t - 6 ;; (m/s)
e a gente precisa achar o deslocamento dessa partícula entre e segundos.
Isso faz parte de Cálculo I, onde aprendemos que o deslocamento é a integral da velocidade num intervalo de tempo. Pra resolver, vamos precisar:
  1. Entender que deslocamento = área sob a curva entre os tempos pedidos.
  2. Saber calcular integrais indefinidas (achar a antiderivada de ).
  3. Fazer a integração definida de 0 a 3.

Passo 2

Primeiro, uma breve teoria:
  • A velocidade De diz a taxa de variação da posição .
  • Se a gente integra a velocidade de até , a gente obtém o deslocamento neto .
  • Em símbolos,
No nosso caso, , e .

Passo 3

Agora, a parte prática: calcular
De
  1. Primeiro encontramos a antiderivada (ou primitiva) de F(t) = 32t^2 - 6t .
    • A primitiva de é , porque ao derivar volta .
    • A primitiva de é , pois a derivada de é .
      Logo, uma antiderivada de é

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integral definida:
De
onde
F(3) = 32cdot3^2 - 6cdot3 = 32cdot9 - 18 = 13,5 - 18 = -4,5,
e
F(0) = 32cdot0^2 - 6cdot0 = 0

Resposta

O deslocamento da partícula entre 0 e 3 segundos é metros.

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