Calcule a integral tripla.
integral triplaE(1 / x^3) d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1,0 <= z <= y^2, 1 <= x <= z+1

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a integral tripla
integral triplaE1x^3,dV,
onde
E=(x,y,z)mid 0<= y<=1,;0<= z<= y^2,;1<= x<= z+1
Conteúdo: integração múltipla via teorema de Fubini e antiderivadas simples.
O que vamos usar:
  • Montar a integral iterada na ordem .
  • Saber integrar , e .
  • Conhecer .

Passo 2

Escrevendo a integral iterada conforme os limites:
integral triplaE1x^3,dV =integraly=0^1!integralz=0^y^2!integralx=1^,z+11x^3,dx,dz,dy

Passo 3

Integramos primeiro em integral1^z+1x^-3dx =l[-tfrac12x^-2r]1^z+1 =-tfrac12l[(z+1)^-2-1r] =tfrac12l(1-(z+1)^-2r) :
integraly=0^1!integralz=0^y^212l(1-(z+1)^-2r),dz,dy
Então a integral vira

Passo 4

Colocamos o 12integraly=0^1l[integral0^y^21,dz ;-!integral0^y^2(z+1)^-2dzr]dy pra fora e separamos:
y^2-l(1-tfrac1y^2+1r) =y^2-1+tfrac1y^2+1
Agora cada pedacinho:

  1. Logo o colchete é

Passo 5

Ficamos com
12integral0^1l(y^2-1+tfrac1y^2+1r),dy =12l[integral0^1y^2dy -integral0^11,dy +integral0^11y^2+1dyr]
Calculando cada:
tfrac13 -1 +tfracpi4 = -tfrac23 +tfracpi4 =3pi-812


Somando no colchete:

Passo 6

Multiplicando por 12cdot3pi-812 =3pi-824 :

Resposta

boxed3pi-824

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