Calcule a integral tripla.
integral triplaE e^z y d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1, y <= x <= 1,0 <= z <= x y

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular a integral tripla
integral triplaE e^z,y,dV
no conjunto
E=(x,y,z)mid 0<= y<=1,;y<= x<=1,;0<= z<= x,y
Conteúdo: integração iterada em 3 variáveis. Vamos usar:
  1. escrever como iterada (dz dx dy),
  2. integrar em z (pois o expoente fica fácil),
  3. em seguida em x,
  4. finalmente em y.
    Não pressupomos nada do aluno: cada antiderivada e mudança de ordem é explicada.

Passo 2

Escrevendo na ordem integraly=0^1!!integralx=y^1!!integralz=0^xy e^,z,y,dz,dx,dy , a integral vira

Passo 3

Integramos primeiro em integralz=0^xy e^z,y,dz =l[tfrac1y,e^z,yr]z=0^z=xy =1yl(e^,y,(x,y)-1r) =1yl(e^,x,y^2-1r) . Como integraly=0^1!integralx=y^1e^,x,y^2-1y;dx;dy , dá
Então sobra

Passo 4

Agora integramos em integral (e^x,y^2-1),dx =integral e^x,y^2,dx;-;integral1,dx =1y^2e^x,y^2;-;(x) . Note
integralx=y^1e^x,y^2-1y,dx =1yl[1y^2e^x,y^2-xr]x=y^x=1 =1y^3l(e^y^2-e^y^3r);-;1y(1-y)
Então, incluindo o fator e^y^2-e^y^3-y^2+y^3y^3 ,
integraly=0^1!e^y^2-e^y^3-y^2+y^3y^3;dy
Se juntarmos termos sobre denom. comum , dá
Logo a integral completa fica

Resposta

boxed integral triplaEe^z,y,dV =integral0^1e^y^2-e^y^3-y^2+y^3y^3;dy

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