A equação
tem duas soluções,
. Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação das soluções com precisão de
, com os valores de
a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
Temos a equação
Temos a equação
que tem duas raízes (soluções) aproximadamente em
Conteúdo envolvido:
- Método de Newton (iterações)
- Derivada de
- Critério de parada
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do método de Newton. Dada uma função
e um chute inicial
, a sequência de Newton é
A ideia é que, a cada passo, usamos o valor atual
Passo 3
Vamos achar
.
Então na fórmula de Newton vamos usar
Passo 4
Agora é só iterar a partir de
até que a variação entre iterações fique abaixo de
. Vou mostrar os valores principais:
n | pₙ | f(pₙ) | f′(pₙ) | pₙ₊₁ = pₙ–f(pₙ)/f′(pₙ) |
---|---|---|---|---|
0 | 25,000000 | 615,088 | 48,676 | 25 – 615,088/48,676 ≈ 12,3636 |
1 | 12,3636 | 143,216 | 21,848 | 12,3636 – 143,216/21,848 ≈ 5,8097 |
2 | 5,8097 | 24,855 | 7,112 | 5,8097 – 24,855/7,112 ≈ 2,3154 |
3 | 2,3154 | 12,139 | 11,977 | 2,3154 – 12,139/11,977 ≈ 1,3025 |
4 | 1,3025 | –0,963 | 12,244 | 1,3025 – (–0,963)/12,244 ≈ 1,3812 |
5 | 1,3812 | 0,0269 | 12,582 | 1,3812 – 0,0269/12,582 ≈ 1,3794 |
6 | 1,3794 | 0,0020 | 12,575 | 1,3794 – 0,0020/12,575 ≈ 1,3792 |
7 | 1,3792 | 0,00015 | 12,573 | 1,3792 – 0,00015/12,573 ≈ 1,3794 |
A gente para quando
Isso aconteceu entre a iteração 5→6 ou 6→7, dependendo de como arredondar. Se você refazer com mais dígitos, verá que em torno de
Resposta
Usando o método de Newton com
até
, obtemos como aproximação da raiz positiva