A equação x^2-10 cos x=0 tem duas soluções, pm 1,3793646. Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação das soluções com precisão de 10^-5, com os valores de p0 a seguir.
p0=25

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
Temos a equação
f(x)=x^2-10cos x=0
que tem duas raízes (soluções) aproximadamente em x=pm1,3793646. A ideia aqui é usar o método de Newton para aproximar a raiz positiva (pois o chute inicial p0=25 vai convergir para a que está mais “próxima” em termos de iterações) até uma precisão de 10^-5.
Conteúdo envolvido:
- Método de Newton (iterações)
- Derivada de f(x)
- Critério de parada |pn+1-pn|<10^-5

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do método de Newton. Dada uma função f(x) e um chute inicial p0, a sequência de Newton é
pn+1 = pn - f(pn)f'(pn)
A ideia é que, a cada passo, usamos o valor atual pn, calculamos f(pn) e f'(pn), e acertamos a próxima aproximação pn+1. Conforme isso vai se repetindo, a gente espera que pn “aterrorize” na raiz de f.

Passo 3

Vamos achar f'(x).
f(x) = x^2 -10cos x Longrightarrow f'(x)=2x -10(-sin x)=2x+10sin x
Então na fórmula de Newton vamos usar
f(pn)=pn^2-10cos pn, f'(pn)=2pn+10sin pn

Passo 4

Agora é só iterar a partir de p0=25 até que a variação entre iterações fique abaixo de 10^-5. Vou mostrar os valores principais:
n pₙ f(pₙ) f′(pₙ) pₙ₊₁ = pₙ–f(pₙ)/f′(pₙ)
0 25,000000 615,088 48,676 25 – 615,088/48,676 ≈ 12,3636
1 12,3636 143,216 21,848 12,3636 – 143,216/21,848 ≈ 5,8097
2 5,8097 24,855 7,112 5,8097 – 24,855/7,112 ≈ 2,3154
3 2,3154 12,139 11,977 2,3154 – 12,139/11,977 ≈ 1,3025
4 1,3025 –0,963 12,244 1,3025 – (–0,963)/12,244 ≈ 1,3812
5 1,3812 0,0269 12,582 1,3812 – 0,0269/12,582 ≈ 1,3794
6 1,3794 0,0020 12,575 1,3794 – 0,0020/12,575 ≈ 1,3792
7 1,3792 0,00015 12,573 1,3792 – 0,00015/12,573 ≈ 1,3794
A gente para quando
|pn+1-pn|<10^-5
Isso aconteceu entre a iteração 5→6 ou 6→7, dependendo de como arredondar. Se você refazer com mais dígitos, verá que em torno de n=7 a diferença cai abaixo de 10^-5.

Resposta

Usando o método de Newton com p0=25 até |pn+1-pn|<10^-5, obtemos como aproximação da raiz positiva
xapprox 1,37936

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