A equação 4 x^2-e^x-e^-x=0 tem quatro soluções pm x1 e pm x2. Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação da solução com precisão de 10^-5, com os valores de p0 a seguir.
p0=-10

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a equação
4x^2 - e^x - e^-x = 0
que diz ter quatro raízes reais simétricas: ±x₁ e ±x₂. O que o exercício pede é usar o método de Newton para encontrar a raiz negativa mais “longe” de zero (que é –x₂) com precisão de , partindo de .
Matéria envolvida: resolução de equações não lineares pelo método de Newton.
O que vamos precisar:
  1. Definir e sua derivada .
  2. Entender o passo de Newton
  3. Iterar até .

Passo 2

Primeiro definimos a função
f(x) = 4x^2 - e^x - e^-x
e calculamos sua derivada:
f'(x) = ddx(4x^2) - ddx(e^x) - ddx(e^-x) = 8x - e^x + e^-x
No método de Newton, a fórmula de iteração é
pn+1 = pn - f(pn)f'(pn)

Passo 3

Vamos iterar começando em . Em cada passo calculamos
  1. e ,
  2. pela fórmula acima,
  3. a diferença .
Se , paramos.
Vou mostrar as primeiras iterações (valores aproximados):
n pₙ f(pₙ) f′(pₙ) p_{n+1} Δₙ
0 –10,00000 –2.1626·10⁴ 2.1946·10⁴ –9.01490 0.98510
1 –9.01490 –7.8995·10³ 8.1524·10³ –8.04580 0.96910
2 –8.04580 –2.8617·10³ 3.0562·10³ –7.10930 0.93650
3 –7.10930 –1.0209·10³ 1.1663·10³ –6.23380 0.87550
4 –6.23380 –3.5394·10² 4.5953·10² –5.46330 0.77050
5 –5.46330 –1.1658·10² 1.9229·10² –4.85710 0.60620
6 –4.85710 –3.4144·10¹ 8.9736·10¹ –4.47660 0.38050
7 –4.47660 –7.7670 5.2106·10¹ –4.32750 0.14910
8 –4.32750 –0.8775 4.1146·10¹ –4.30620 0.02130
9 –4.30620 –0.0029 3.9728·10¹ –4.30613 0.00007
Na iteração 9 já temos (\Delta_9= p_{10}-p_9 \approx7\times10^{-5}). Precisamos de mais uma passada:
10 –4.30613 ≈–1.3·10⁻⁶ 3.968·10¹ –4.30612 0.00001
Agora , bem na nossa margem.

Resposta

Aproximando até boxed,xapprox -4.30612, , a raiz obtida a partir de é

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