A equação
tem quatro soluções
. Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação da solução com precisão de
, com os valores de
a seguir.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem a equação
que diz ter quatro raízes reais simétricas: ±x₁ e ±x₂. O que o exercício pede é usar o método de Newton para encontrar a raiz negativa mais “longe” de zero (que é –x₂) com precisão de
Matéria envolvida: resolução de equações não lineares pelo método de Newton.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definir
e sua derivada . - Entender o passo de Newton
- Iterar até
.
Passo 2
Primeiro definimos a função
e calculamos sua derivada:
No método de Newton, a fórmula de iteração é
Passo 3
Vamos iterar começando em
. Em cada passo calculamos
-
e , -
pela fórmula acima, - a diferença
.
Se
, paramos.
Vou mostrar as primeiras iterações (valores aproximados):
n | pₙ | f(pₙ) | f′(pₙ) | p_{n+1} | Δₙ |
---|---|---|---|---|---|
0 | –10,00000 | –2.1626·10⁴ | 2.1946·10⁴ | –9.01490 | 0.98510 |
1 | –9.01490 | –7.8995·10³ | 8.1524·10³ | –8.04580 | 0.96910 |
2 | –8.04580 | –2.8617·10³ | 3.0562·10³ | –7.10930 | 0.93650 |
3 | –7.10930 | –1.0209·10³ | 1.1663·10³ | –6.23380 | 0.87550 |
4 | –6.23380 | –3.5394·10² | 4.5953·10² | –5.46330 | 0.77050 |
5 | –5.46330 | –1.1658·10² | 1.9229·10² | –4.85710 | 0.60620 |
6 | –4.85710 | –3.4144·10¹ | 8.9736·10¹ | –4.47660 | 0.38050 |
7 | –4.47660 | –7.7670 | 5.2106·10¹ | –4.32750 | 0.14910 |
8 | –4.32750 | –0.8775 | 4.1146·10¹ | –4.30620 | 0.02130 |
9 | –4.30620 | –0.0029 | 3.9728·10¹ | –4.30613 | 0.00007 |
Na iteração 9 já temos (\Delta_9= | p_{10}-p_9 | \approx7\times10^{-5}). Precisamos de mais uma passada: | |||
10 | –4.30613 | ≈–1.3·10⁻⁶ | 3.968·10¹ | –4.30612 | 0.00001 |
Agora
, bem na nossa margem.
Resposta
Aproximando até
, a raiz obtida a partir de
é