Suponha que x é representado num computador por barx, onde barx é obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de u=2 barx e w=barx+barx

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: “Temos um número real u = 2,bar x e w = bar x + bar x que, na hora de entrar no computador, vira bar x = x,(1+de por arredondamento. Queremos achar cotas (limites superiores) para os erros relativos de
Isso é um assunto de aritmética de ponto flutuante: modelamos o arredondamento como
onde é a “máquina épsilon” (machine epsilon). Vamos usar esse modelo e ver como o erro relativo se propaga nessas duas expressões.

Passo 2

Modelo do arredondamento de bar x = fl(x) = x,(1+de:
Quando você armazena , o computador faz
com .
Isso que é a base: todo valor salvo tem esse erro “de primeira vez”.

Passo 3

Analisando u = 2,bar x = 2,x,(1+de.
– Primeiro, pensávamos em multiplicar u = fl(2,bar x) = (2,bar x),(1+de por 2 exatamente. Se estivéssemos ignorando erro na multiplicação, seria só
u - 2x2x = (1+de
– Geralmente, a multiplicação também gera um arredondamento, então de fato
l|de
com .
– O erro relativo de em relação ao “valor exato” é
Como e , temos

Passo 4

Analisando w = fl(bar x + bar x) = (bar x + bar x),(1+de.
– Primeiro somamos as duas cópias de w = 2,x,(1+de, depois arredondamos:
w - 2x2x = (1+de
– Substituindo l|w - 2x2xr| <= 2varepsilon + varepsilon^2 ,
– O erro relativo de versus cai na mesma conta que fizemos para :
e . Logo

Resposta

Limites superiores para os erros relativos:
boxed l|erro relativo de ur|;<=;2varepsilon + varepsilon^2, l|erro relativo de wr|;<=;2varepsilon + varepsilon^2

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