A equação possui raiz real somente se . Faça e aplique os métodos: bisseç̧ão, Newton e secante com as seguintes aproximações iniciais (use :
Para o método da bissecção (usando o algoritmo dado em aula com critério de parada e . Justifique o que acontece em cada caso; para Newton, use e para secante: e ;
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem a equação
e só existe raiz real se . Então eles mandam colocar , o que vira
– ou seja, raiz em , de multiplicidade 2.
Precisamos aplicar três métodos numéricos para achar essa raiz, com tolerância :
Bissecção nos intervalos e , com critério de parada .
Newton, começando em .
Secante, com e .
Passo 2
Método da bissecção em :
A função é .
Calculo e .
Para bissecção a gente precisa de um sinal trocado: .
Aqui , não há troca de sinal, então o método não se aplica (não dá pra começar a dividir o intervalo esperando achar o zero).
Passo 3
Mesmo raciocínio em :
e .
Continua , sem troca de sinal.
Logo, também não rola bissecção nesse intervalo.
Passo 4
Método de Newton a partir de :
Teoria: a iteração de Newton é
2. Aqui e . Então
Isso mostra que, a cada passo, a gente divide por 2. Logo
4. Critério de parada: Como
basta achar tal que .
Resolvendo dá .
Passo 5
Método da secante com xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1), , :
Fórmula da secante:
- Aqui e , então o denominador .
- Isso gera divisão por zero, o que faz o método parar imediatamente sem produzir qualquer aproximação.
Resposta
Bissecção em x14approx -2,(1/2)^14approx -1,22times10^-4, e : falha (não há troca de sinal em nenhum dos intervalos).
Newton a partir de : converge em 14 iterações para aproximadamente
- Secante com : falha por divisão por zero (mesmo valor de em ambos os pontos).