A equação x^2+t=0 possui raiz real somente se t <= 0. Faça t=0 e aplique os métodos: bisseç̧ão, Newton e secante com as seguintes aproximações iniciais (use varepsilon=10^-4):
Para o método da bissecção (usando o algoritmo dado em aula com critério de parada (b-a) e [a, b]=[-5,2]. Justifique o que acontece em cada caso; para Newton, use x0=-2 e para secante: x0=-2 e x1=2;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem a equação
x^2 + t = 0
e só existe raiz real se x^2 = 0. Então eles mandam colocar , o que vira
– ou seja, raiz em , de multiplicidade 2.
Precisamos aplicar três métodos numéricos para achar essa raiz, com tolerância :
  1. Bissecção nos intervalos e , com critério de parada .
  2. Newton, começando em .
  3. Secante, com e .

Passo 2

Método da bissecção em :
  • A função é .
  • Calculo e .
  • Para bissecção a gente precisa de um sinal trocado: .
  • Aqui , não há troca de sinal, então o método não se aplica (não dá pra começar a dividir o intervalo esperando achar o zero).

Passo 3

Mesmo raciocínio em :
  • e .
  • Continua , sem troca de sinal.
  • Logo, também não rola bissecção nesse intervalo.

Passo 4

Método de Newton a partir de xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), :
  1. Teoria: a iteração de Newton é xn+1 = xn - xn^22xn = xn - xn2 = xn2,
    2. Aqui xn = -2cdotl(tfrac12r)^n, e |xn+1-xn| < 10^-4, . Então
    |xn+1-xn| = l|xn2-xnr| = |xn|2 = 2,(1/2)^n2 = (1/2)^n,
  2. Isso mostra que, a cada passo, a gente divide por 2. Logo
    4. Critério de parada:
    Como
    basta achar tal que .
    Resolvendo dá .

Passo 5

Método da secante com xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1), , :
  • Fórmula da secante:
    - Aqui e , então o denominador .
    - Isso gera divisão por zero, o que faz o método parar imediatamente sem produzir qualquer aproximação.

Resposta

  • Bissecção em x14approx -2,(1/2)^14approx -1,22times10^-4, e : falha (não há troca de sinal em nenhum dos intervalos).
  • Newton a partir de : converge em 14 iterações para aproximadamente
    - Secante com : falha por divisão por zero (mesmo valor de em ambos os pontos).

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