Calcule a raiz cúbica de 4 com precisão 10^-3 através de um método para resolução de equações. Justifique sua escolha.

Passo 1

Beleza, o problema é: “Calcular a raiz cúbica de 4 com precisão usando um método pra resolver equações. Justificar a escolha.”
Isso cai em Métodos Numéricos (raízes de função). Vamos precisar:
  • escolher uma função que zere em ,
  • decidir um método (bisseção, Newton, etc.),
  • aplicar o critério de erro .

Passo 2

Primeiro definimos
f(x)=x^3-4,
pois .
Vou usar o método de Newton–Raphson porque:
  1. A derivada de é fácil ( ),
  2. Converge rápido (quadrática),
  3. Poucas iterações pra chegar na precisão desejada.

Passo 3

No Newton, a regra de iteração é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) = xn - xn^3-43xn^2
Escolhemos um chute inicial razoável. Como , tomo .

Passo 4

Vamos iterar até x1 =1,6 - 1,6^3-43cdot1,6^2 =1,6 - 4,096-43cdot2,56 =1,6 - 0,0967,68 approx1,5875 :
  1. Iteração 1:
x2 =1,5875 - 1,5875^3-43cdot1,5875^2 approx1,5875 - 0,0004987,5605 approx1,587434
  1. Iteração 2:
Diferença: . Então paramos aqui.

Resposta

A raiz cúbica de 4, com erro menor que boxed1,587 , é aproximadamente

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