Usando os códigos desenvolvidos em python, resolva as equações abaixo, com erro inferior a 0,0001 , utilizando os processos
I) bisseç̧ão
II) Newton-Raphson (quando a derivada for simples de ser obtida).
III) secante.
Para cada uma dê o número de iterações e informe qual foi o método mais rápido.
x^2-2 x e^-x+e^-2 x=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar a raiz da equação
x^2-2x e^-x+e^-2x=0
usando três métodos numéricos (bisseção, Newton–Raphson e secante) até erro menor que g(x)=x-e^-x=0 . Isso é conteúdo de análise numérica / métodos de raiz. Para resolver, vamos precisar:
  • Reconhecer que a função pode ser escrita como , ou seja, equivalem a resolver
  • Saber implementar (ou simular) bisseção, Newton e secante em .
  • Conhecer para Newton.

Passo 2

Transformação e definição das funções:
  1. A original f(x)=x^2-2x e^-x+e^-2x = l(x-e^-xr)^2
  2. Logo basta achar a raiz de g(x)=x-e^-x, g'(x)=1+e^-x Note que e , então já temos um intervalo pra bisseção.

Passo 3

Método da bisseção em 12^n<10^-4 ;Longrightarrow; n>log2(10^4)approx13,3 ;Longrightarrow; n=14 :
  • Escolhemos o intervalo inicial , pois e .
  • A cada iteração, calculamos o ponto médio e avaliamos . Se , mantemos ; senão usamos .
  • O critério de parada clássico é .
  • Como a largura inicial é , precisamos de iterações para chegar ao erro desejado.

Passo 4

Método de Newton–Raphson em xk+1=xk-g(xk)g'(xk) =xk-xk-e^-xk1+e^-xk :
  • Fórmula de iteração:
  • Escolhemos .
  • Calculando a mão (ou no Python) obtemos:
    .
  • Em já temos .
  • Logo, Newton–Raphson levou 3 iterações.

Passo 5

Método da secante em xk+1 =xk-;g(xk);xk-xk-1g(xk)-g(xk-1) :
  • Fórmula de iteração:
  • Chutamos .
  • Fazendo as contas (ou no Python):
    .
  • Em atingimos .
  • Então secante usou 4 iterações.

Resposta

Raiz aproximada:
Número de iterações:
  • Bisseção: 14
  • Newton–Raphson: 3
  • Secante: 4
    Método mais rápido: Newton–Raphson.

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