Usando os códigos desenvolvidos em python, resolva as equações abaixo, com erro inferior a 0,0001 , utilizando os processos
I) bisseç̧ão
II) Newton-Raphson (quando a derivada for simples de ser obtida).
III) secante.
Para cada uma dê o número de iterações e informe qual foi o método mais rápido.
.
I) bisseç̧ão
II) Newton-Raphson (quando a derivada for simples de ser obtida).
III) secante.
Para cada uma dê o número de iterações e informe qual foi o método mais rápido.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra achar a raiz da equação
usando três métodos numéricos (bisseção, Newton–Raphson e secante) até erro menor que
. Isso é conteúdo de análise numérica / métodos de raiz. Para resolver, vamos precisar:
- Reconhecer que a função pode ser escrita como
, ou seja, equivalem a resolver - Saber implementar (ou simular) bisseção, Newton e secante em
. - Conhecer
para Newton.
Passo 2
Transformação e definição das funções:
- A original
- Logo basta achar a raiz de
Note que e , então já temos um intervalo pra bisseção.
Passo 3
Método da bisseção em
:
- Escolhemos o intervalo inicial
, pois e . - A cada iteração, calculamos o ponto médio
e avaliamos . Se , mantemos ; senão usamos . - O critério de parada clássico é
. - Como a largura inicial é
, precisamos de iterações para chegar ao erro desejado.
Passo 4
Método de Newton–Raphson em
:
- Fórmula de iteração:
- Escolhemos
. - Calculando a mão (ou no Python) obtemos:
. - Em
já temos . - Logo, Newton–Raphson levou 3 iterações.
Passo 5
Método da secante em
:
- Fórmula de iteração:
- Chutamos
. - Fazendo as contas (ou no Python):
. - Em
atingimos . - Então secante usou 4 iterações.
Resposta
Raiz aproximada:
Número de iterações:
Número de iterações:
- Bisseção: 14
- Newton–Raphson: 3
- Secante: 4
Método mais rápido: Newton–Raphson.