No processo de determinação dos zeros da função f(x)=x^3-3 x utilizando o método de Newton_Raphson (quando necessário, use o PYTHON ou VCN para auxiliar a realização das contas) você deve fazer diversas escolhas para X0. Comente sobre o que acontece em cada item a seguir:
X0=2 para determinar a raiz x=0. Por que o método retorna outra raiz?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente quer achar as raízes da função
f(x)=x^3 - 3x
usando o método de Newton–Raphson, mas especificamente no caso em que começamos com Xn+1 = Xn - f(Xn)f'(Xn) e esperamos chegar na raiz . O que acontece, porém, é que o método “escapa” e converge a outra raiz (na verdade converge a ).
Matéria envolvida: método de Newton–Raphson (também chamado de Newton).
O que vamos precisar:
  • Entender a fórmula de iteração do Newton:
  • Calcular a derivada .
  • Verificar iterações a partir de e ver para qual valor a sequência converge.

Passo 2

Primeiro, derivada de f'(x)=ddx(x^3-3x)=3x^2-3:
Xn+1 = Xn ;-;Xn^3 - 3Xn3Xn^2-3 = Xn - Xn,(Xn^2-3)3,(Xn^2-1)
Logo a regra de iteração é
Isso significa que, a cada passo, a gente “corrige” diminuindo pelo quociente .

Passo 3

Vamos ver as primeiras iterações começando em X1 = 2 ;-;2^3-3cdot23cdot2^2-3 = 2 - 8 - 612 - 3 = 2 - 29 approx 2 - 0,2222 = 1,7778 . Para simplificar, arredondo em 4 casas decimais:
  1. X2 = 1,7778 - (1,7778)^3 - 3(1,7778)3(1,7778)^2 - 3 approx 1,7778 - 5,614 - 5,3333cdot3,160 - 3 approx 1,7778 - 0,2816,480 - 3 approx 1,7778 - 0,0434 = 1,7344
  2. Calcular Xn ;to; +1,73205ldots = +raiz3
  3. A partir de , fazemos igual:
  4. Se continuarmos alguns passos, o valor se aproxima de

Passo 4

Por que fugiu da raiz x = 0, x = +raiz3, x = -raiz3 ? A ideia-chave do Newton–Raphson é que ele “puxa” seu chute inicial para a raiz mais próxima, mas essa noção de “mais próxima” depende do formato de e da derivada. No mundo das funções não-lineares, existem regiões (chamadas “basins of attraction”) em que, se você começa lá dentro, sempre vai acabar em uma certa raiz. Para temos três raízes:
Quem começa em está claramente na “região de atração” da raiz , não na do zero. Por isso o método não vai até , mas sim até .

Resposta

O método retorna a raiz em vez de porque, para , a iteração de Newton–Raphson converge à raiz cuja “região de atração” contém o valor 2, e essa raiz é , não o zero.

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