No processo de determinação dos zeros da função
utilizando o método de Newton_Raphson (quando necessário, use o PYTHON ou VCN para auxiliar a realização das contas) você deve fazer diversas escolhas para
. Comente sobre o que acontece em cada item a seguir:
para determinar a raiz
. Por que o método retorna outra raiz?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a gente quer achar as raízes da função
usando o método de Newton–Raphson, mas especificamente no caso em que começamos com
e esperamos chegar na raiz
. O que acontece, porém, é que o método “escapa” e converge a outra raiz (na verdade converge a
).
Matéria envolvida: método de Newton–Raphson (também chamado de Newton).
O que vamos precisar:
Matéria envolvida: método de Newton–Raphson (também chamado de Newton).
O que vamos precisar:
- Entender a fórmula de iteração do Newton:
- Calcular a derivada
. - Verificar iterações a partir de
e ver para qual valor a sequência converge.
Passo 2
Primeiro, derivada de
:
Logo a regra de iteração é
Isso significa que, a cada passo, a gente “corrige”
diminuindo pelo quociente
.
Passo 3
Vamos ver as primeiras iterações começando em
. Para simplificar, arredondo em 4 casas decimais:
-
- Calcular
- A partir de
, fazemos igual: - Se continuarmos alguns passos, o valor se aproxima de
Passo 4
Por que fugiu da raiz
? A ideia-chave do Newton–Raphson é que ele “puxa” seu chute inicial para a raiz mais próxima, mas essa noção de “mais próxima” depende do formato de
e da derivada. No mundo das funções não-lineares, existem regiões (chamadas “basins of attraction”) em que, se você começa lá dentro, sempre vai acabar em uma certa raiz. Para
temos três raízes:
Quem começa em
está claramente na “região de atração” da raiz
, não na do zero. Por isso o método não vai até
, mas sim até
.
Resposta
O método retorna a raiz
em vez de
porque, para
, a iteração de Newton–Raphson converge à raiz cuja “região de atração” contém o valor 2, e essa raiz é
, não o zero.