A equação de um círculo com raio 1 (círculo unitário) é dada por
, e sua área é
. Consequentemente:
Avalie a integral usando os métodos a seguir:
(A) Método de Simpson 1/3. Divida o intervalo de integração em oito subintervalos.
(B) Método de Simpson 3/8. Divida o intervalo de integração em nove subintervalos.
© Quadratura de Gauss de segunda ordem.
Compare os resultados e discuta o porquê das diferenças.
(A) Método de Simpson 1/3. Divida o intervalo de integração em oito subintervalos.
(B) Método de Simpson 3/8. Divida o intervalo de integração em nove subintervalos.
© Quadratura de Gauss de segunda ordem.
Compare os resultados e discuta o porquê das diferenças.
Passo 1
Beleza, o que o exercício pede é a gente aproximar
que tem valor exato
. Isso entra na aula de Integração Numérica: vamos usar métodos que substituem a integral por somas de valores de
. Precisamos apenas da função
no intervalo
e entender como:
- Simpson 1/3 (que exige número par de subintervalos).
- Simpson 3/8 (que exige múltiplo de 3).
- Quadratura de Gauss de segunda ordem (2 pontos e pesos iguais).
Passo 2
- Dividimos
em pedaços de tamanho
com nós
,
.
2) Avaliamos :
2) Avaliamos
e simétrico depois.
3) A fórmula de Simpson 1/3 é
3) A fórmula de Simpson 1/3 é
- Substituindo os valores chega-se a
Passo 3
- Agora
, então
com nós
,
.
2) Avaliamos cada .
3) A fórmula de Simpson 3/8 é
2) Avaliamos cada
3) A fórmula de Simpson 3/8 é
- Fazendo as contas dá
Passo 4
- Nesse método a gente usa só dois pontos e pesos exatos para integrar polinômios até grau 3. No intervalo
:
- Avalia em
:
- A soma ponderada é
Passo 5
- O valor exato é
. - Tanto Simpson 1/3 (
) quanto 3/8 ( ) subestimam, com erro de ordem . Como usamos relativamente grande, aparecem uns dez-ésimos de diferença. - A Gauss 2 pontos dá
, superestimando. Mesmo sendo exato para polinômios até grau 3, não é polinomial, e os pontos internos acabam “pesando demais” no meio do intervalo, causando esse viés.
Resposta
Simpson 1/3 (8 subintervalos): ≈1.54180
Simpson 3/8 (9 subintervalos): ≈1.54119
Gauss 2ª ordem: ≈1.63299
Valor exato: π/2 ≈1.57080
Simpson 3/8 (9 subintervalos): ≈1.54119
Gauss 2ª ordem: ≈1.63299
Valor exato: π/2 ≈1.57080