A equação de um círculo com raio 1 (círculo unitário) é dada por x^2+y^2=1, e sua área é A=pi. Consequentemente:
integral-1^1 raiz1-x^2 d x=pi2
Avalie a integral usando os métodos a seguir:
(A) Método de Simpson 1/3. Divida o intervalo de integração em oito subintervalos.
(B) Método de Simpson 3/8. Divida o intervalo de integração em nove subintervalos.
© Quadratura de Gauss de segunda ordem.
Compare os resultados e discuta o porquê das diferenças.

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é a gente aproximar
integral-1^1 raiz1 - x^2,dx
que tem valor exato f(x) = raiz1 - x^2 . Isso entra na aula de Integração Numérica: vamos usar métodos que substituem a integral por somas de valores de . Precisamos apenas da função
no intervalo e entender como:
  • Simpson 1/3 (que exige número par de subintervalos).
  • Simpson 3/8 (que exige múltiplo de 3).
  • Quadratura de Gauss de segunda ordem (2 pontos e pesos iguais).

Passo 2

  1. Dividimos h = 1 - (-1)8 = 0.25, em f(-1)&=0, f(-0.75)&=raiz1-0.75^2approx0.661438, f(-0.5)&approx0.866025, f(-0.25)&approx0.968246, f(0)&=1, pedaços de tamanho
Itfrac13 approx h3l[f0 + f8 + 4!sum(i) ímparfi +2!sum(i) par, ineq0,8fir]
com nós Itfrac13approx1.54180 , .
2) Avaliamos :
e simétrico depois.
3) A fórmula de Simpson 1/3 é
í
  1. Substituindo os valores chega-se a

Passo 3

  1. Agora h = 29approx0.22222, , então
Itfrac38approx 3h8l[f0+f9 ;+;3!suminotequiv0pmod3fi ;+;2!sumiequiv0pmod3,;ineq0,9fir]
com nós Itfrac38approx1.54119 , .
2) Avaliamos cada .
3) A fórmula de Simpson 3/8 é
  1. Fazendo as contas dá

Passo 4

  1. Nesse método a gente usa só dois pontos e pesos exatos para integrar polinômios até grau 3. No intervalo x1,2=pm1raiz3, w1=w2=1 :
fl(pmtfrac1raiz3r) =raiz1-tfrac13 =raiztfrac23approx0.816497
  1. Avalia em IG2 = 1cdot0.816497 + 1cdot0.816497 = 1.63299 :
  1. A soma ponderada é

Passo 5

  • O valor exato é .
  • Tanto Simpson 1/3 ( ) quanto 3/8 ( ) subestimam, com erro de ordem . Como usamos relativamente grande, aparecem uns dez-ésimos de diferença.
  • A Gauss 2 pontos dá , superestimando. Mesmo sendo exato para polinômios até grau 3, não é polinomial, e os pontos internos acabam “pesando demais” no meio do intervalo, causando esse viés.

Resposta

Simpson 1/3 (8 subintervalos): ≈1.54180
Simpson 3/8 (9 subintervalos): ≈1.54119
Gauss 2ª ordem: ≈1.63299
Valor exato: π/2 ≈1.57080

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