Para estimar a área superficial de uma bola de futebol americano, mede-se o seu diâmetro em diferentes pontos. A área superficial
e o volume V podem ser determinados usando:
Use o método de Simpson 1/3 composto com os dados abaixo para determinar o volume e
área superficial da bola.
|
0 | 2,5 | 5,1 | 7,6 | 10,2 | 12,7 | 15,2 | 17,8 | 20,3 | 22,9 | 25,4 | 27,9 | 30,5 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0 | 6,6 | 8,1 | 12,2 | 14,2 | 15,2 | 15,7 | 15,2 | 14,2 | 12,2 | 8,1 | 6,6 | 0 |
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra estimar a área superficial e o volume de uma bola de futebol americano usando as fórmulas
e
,
onde medimos o diâmetro em vários pontos
. A matéria aqui é “Integração Numérica” – em especial a regra composta de Simpson 1/3. Para resolver, a gente vai precisar:
e
onde medimos o diâmetro
- Converter cada diâmetro
em raio . - Notar que os pontos
estão praticamente espaçados por cm (1″ em cm). - Aplicar Simpson 1/3 composto em cada integral.
Passo 2
Explicando a regra de Simpson 1/3 composta (sem pular etapas):
- Se você tem
subintervalos iguais de largura (aqui e cm), e as amostras , - A integral
fica aproximada por
Ou seja: soma dos extremos, mais 4 vezes as avaliações em índices ímpares, mais 2 vezes as avaliações em índices pares, tudo vezes
.
Passo 3
Tabela de
, diâmetro
e raio
:
z (cm): 0, 2,5, 5,1, 7,6, 10,2, 12,7, 15,2, 17,8, 20,3, 22,9, 25,4, 27,9, 30,5
d (cm): 0, 6,6, 8,1, 12,2, 14,2, 15,2, 15,7, 15,2, 14,2, 12,2, 8,1, 6,6, 0
r (cm): 0, 3,3, 4,05, 6,1, 7,1, 7,6, 7,85, 7,6, 7,1, 6,1, 4,05, 3,3, 0
z (cm): 0, 2,5, 5,1, 7,6, 10,2, 12,7, 15,2, 17,8, 20,3, 22,9, 25,4, 27,9, 30,5
d (cm): 0, 6,6, 8,1, 12,2, 14,2, 15,2, 15,7, 15,2, 14,2, 12,2, 8,1, 6,6, 0
r (cm): 0, 3,3, 4,05, 6,1, 7,1, 7,6, 7,85, 7,6, 7,1, 6,1, 4,05, 3,3, 0
Pra volume usamos
; pra área usamos
.
Passo 4
Calcular
por Simpson:
-
. - Soma ímpares
. - Soma pares
.
Então
Passo 5
Calcular
por Simpson:
-
. - Soma ímpares
. - Soma pares
.
Então
Resposta
Volume
Área superficial
Área superficial