Para estimar a área superficial de uma bola de futebol americano, mede-se o seu diâmetro em diferentes pontos. A área superficial S e o volume V podem ser determinados usando:
S=2 cdot integral0^L r d z e V=pi integral0^L r^2 d z
Use o método de Simpson 1/3 composto com os dados abaixo para determinar o volume e a área superficial da bola.
z(cm) 0 2,5 5,1 7,6 10,2 12,7 15,2 17,8 20,3 22,9 25,4 27,9 30,5
d(cm) 0 6,6 8,1 12,2 14,2 15,2 15,7 15,2 14,2 12,2 8,1 6,6 0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra estimar a área superficial e o volume de uma bola de futebol americano usando as fórmulas

e
,
onde medimos o diâmetro em vários pontos . A matéria aqui é “Integração Numérica” – em especial a regra composta de Simpson 1/3. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Converter cada diâmetro em raio .
  2. Notar que os pontos estão praticamente espaçados por  cm (1″ em cm).
  3. Aplicar Simpson 1/3 composto em cada integral.

Passo 2

Explicando a regra de Simpson 1/3 composta (sem pular etapas):
  • Se você tem integral0^L f(z),dz approx h3l[f0 + fn ;+;4sumi=1,3,5,dots^n-1fi ;+;2sumi=2,4,6,dots^n-2fir] subintervalos iguais de largura (aqui e  cm), e as amostras ,
  • A integral fica aproximada por
Ou seja: soma dos extremos, mais 4 vezes as avaliações em índices ímpares, mais 2 vezes as avaliações em índices pares, tudo vezes .

Passo 3

Tabela de , diâmetro e raio :
z (cm): 0, 2,5, 5,1, 7,6, 10,2, 12,7, 15,2, 17,8, 20,3, 22,9, 25,4, 27,9, 30,5
d (cm): 0, 6,6, 8,1, 12,2, 14,2, 15,2, 15,7, 15,2, 14,2, 12,2, 8,1, 6,6, 0
r (cm): 0, 3,3, 4,05, 6,1, 7,1, 7,6, 7,85, 7,6, 7,1, 6,1, 4,05, 3,3, 0
Pra volume usamos ; pra área usamos .

Passo 4

Calcular integral0^L r^2dz approx 2,543l[0+0 +4cdot211,72 +2cdot195,35r] approx 1047,6;cm^3 por Simpson:
  1. V = piintegral0^L r^2dz approx pitimes1047,6 approx 3291;cm^3 .
  2. Soma ímpares .
  3. Soma pares .
Então

Passo 5

Calcular integral0^L r,dz approx 2,543l[0+0 +4cdot34,0 +2cdot30,15r] approx 166,3;cm^2 por Simpson:
  1. S = 2piintegral0^L r,dz approx 2pitimes166,3 approx 1046;cm^2 .
  2. Soma ímpares .
  3. Soma pares .
Então

Resposta

Volume
Área superficial

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