Avalie as integrais:
I1=integral0^pi sen^2 x d x e I2=integral0^2 pi sen^2 x d x
usando os métodos a seguir:
(A) Método de Simpson 1/3. Divida o intervalo de integração em seis subintervalos.
(B) Método de Simpson 3/8. Divida o intervalo de integração em seis subintervalos.
© Quadratura de Gauss de segunda ordem.
Compare os resultados e discuta o porquê das diferenças. O valor exato das integrais é I=pi2 e I=pi.

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um exercício de métodos numéricos de integração. Precisamos calcular duas integrais
I1=integral0^pisin^2x,dxe I2=integral0^2pisin^2x,dx
usando:
(A) Regra composta de Simpson 1/3 com 6 subintervalos.
(B) Regra composta de Simpson 3/8 com 6 subintervalos.
© Quadratura de Gauss de ordem 2 (dois pontos).
Para isso vamos usar as fórmulas padrões desses métodos e avaliar sin^2 x nos pontos certos. A teoria por trás:
  • Simpson 1/3 e 3/8 são exatas até polinômios de grau 3.
  • A quadratura de Gauss de grau 2 é exata para polinômios até grau 3 também.
    Mas como sin^2 x=(1-cos2x)/2 tem frequência “2”, veremos diferença nos resultados.

Passo 2

Método de Simpson 1/3 composto (6 subintervalos)
  1. Para I1, de 0 a pi:
    • h=(pi-0)/6=pi/6.
    • Nós xi=0,;pi/6,;pi/3,;pi/2,;2pi/3,;5pi/6,;pi.
    • Avaliamos fi=sin^2(xi)=0,,1/4,,3/4,,1,,3/4,,1/4,,0.
    • Soma composta:$$S=f_{0}+4(f_{1}+f_{3}+f_{5})+2(f_{2}+f_{4})+f_{6}=0+4,(1/4+1+1/4)+2,(3/4+3/4)+0=9. S=f0+4(f1+f3+f5)+2(f2+f4)+f6 =0+4,(1/4+1+1/4)+2,(3/4+3/4)+0=9I_{1}\approx \frac{h}{3}S=\frac{\pi/6}{3}\times9=\frac{\pi}{2}.$$
  2. Para I1approx h3S=pi/63times9=pi2, de I2 a 0:
    • 2pi.
    • h=(2pi-0)/6=pi/3,
      xi=0,;pi/3,,2pi/3,,pi,,4pi/3,,5pi/3,,2pi.
    • Soma: fi=0,,3/4,,3/4,,0,,3/4,,3/4,,0
      - Logo
      S=0+4,(3/4+0+3/4)+2,(3/4+3/4)+0=9

Passo 3

Método de Simpson 3/8 composto (6 subintervalos = 2 blocos de 3)
  1. Para I1, de 0 a pi, com h=pi/6:
    • Cada bloco de 3 subintervalos tem fórmula integrala^a+3hf,dxapprox 3h8l[f(a)+3f(a+h)+3f(a+2h)+f(a+3h)r]
      - Bloco 1: de 0 a pi/2 3h8(0+3cdottfrac14+3cdottfrac34+1)=pi/4.
      - Bloco 2: de pi/2 a pi idem, dá pi/4.
      - Soma: I1approx pi/4+pi/4=pi/2.
  2. Para I2, de 0 a 2pi, com h=pi/3:
    • Bloco 1: de 0 a pi dá$$\frac{3h}{8}\bigl[0+3\cdot\tfrac34+3\cdot\tfrac34+0\bigr]=\frac{\pi/8},(4.5)=\frac{9\pi}{16}.$$
      - Bloco 2: de 3h8l[0+3cdottfrac34+3cdottfrac34+0r] =pi/8,(4.5)=9pi16 a pi é igual (função periódica), mais 2pi.
      - Soma: 9pi/16

Passo 4

Quadratura de Gauss de 2 pontos
Fórmula geral em [a,b]:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\Bigl[f\bigl(\tfrac{a+b}{2}-\tfrac{b-a}{2\sqrt3}\bigr)
+f\bigl(\tfrac{a+b}{2}+\tfrac{b-a}{2\sqrt3}\bigr)\Bigr].$$
  1. Para integrala^bf(x)dxapprox b-a2l[fl(tfraca+b2-tfracb-a2raiz3r) +fl(tfraca+b2+tfracb-a2raiz3r)r] ( I1, a=0):
    • Pontos b=pi.
    • Em cada ponto x=pi2pmpi2raiz3.
    • Logo$$I_{1}\approx \frac{\pi}{2},2\cos^2!\Bigl(\tfrac{\pi}{2\sqrt3}\Bigr)=\pi\cos^2!\Bigl(\tfrac{\pi}{2\sqrt3}\Bigr)\approx1{,}190.$$
  2. Para sin^2 x=cos^2!l(pi2raiz3r) ( I1approx pi2,2cos^2!l(tfracpi2raiz3r) =picos^2!l(tfracpi2raiz3r)approx1,190, I2):
    • Pontos a=0 e
      b=2pi.
    • Em cada ponto x=pipmpiraiz3.
    • Logo$$I_{2}\approx \pi;2\sin^2!\Bigl(\tfrac{\pi}{\sqrt3}\Bigr)=2\pi\sin^2!\Bigl(\tfrac{\pi}{\sqrt3}\Bigr)\approx6{,}088.$$

Passo 5

Comparando tudo:
Método I₁ ≈ I₂ ≈ Exato
Simpson 1/3 π/2=1,571 π=3,142 π/2=1,571; π=3,142
Simpson 3/8 π/2=1,571 9π/8=3,5343
Gauss 2 pontos ≈1,190 ≈6,088
Por que?
  • Simpson 1/3 composto, com 6 subintervalos, “acerta” a média de sin^2x ao longo de um período inteiro ou meio-período, e ficou exato.
  • Simpson 3/8 composto também é exato em [0,pi], mas, ao usar dois blocos em [0,2pi], perde a simetria ideal da função periódica e aparece erro em I2.
  • A quadratura de Gauss de ordem 2 só vê sin^2x em dois pontos – não capta bem o comportamento oscilatório de cos2x – e erra pesado em ambas.

Resposta

I₁ e I₂ aproximados pelos métodos:
  • Simpson 1/3: I₁=π/2, I₂=π.
  • Simpson 3/8: I₁=π/2, I₂=9π/8≈3,5343.
  • Gauss 2 pontos: I₁≈1,190, I₂≈6,088.
    Valores exatos: I₁=π/2≈1,571, I₂=π≈3,142.

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