Avalie as integrais:
usando os métodos a seguir:
(A) Método de Simpson 1/3. Divida o intervalo de integração em seis subintervalos.
(B) Método de Simpson 3/8. Divida o intervalo de integração em seis subintervalos.
© Quadratura de Gauss de segunda ordem.
Compare os resultados e discuta o porquê das diferenças. O valor exato das integrais é
.
(A) Método de Simpson 1/3. Divida o intervalo de integração em seis subintervalos.
(B) Método de Simpson 3/8. Divida o intervalo de integração em seis subintervalos.
© Quadratura de Gauss de segunda ordem.
Compare os resultados e discuta o porquê das diferenças. O valor exato das integrais é
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é um exercício de métodos numéricos de integração. Precisamos calcular duas integrais
usando:
(A) Regra composta de Simpson 1/3 com 6 subintervalos.
(B) Regra composta de Simpson 3/8 com 6 subintervalos.
© Quadratura de Gauss de ordem 2 (dois pontos).
Para isso vamos usar as fórmulas padrões desses métodos e avaliar
nos pontos certos. A teoria por trás:
- Simpson 1/3 e 3/8 são exatas até polinômios de grau 3.
- A quadratura de Gauss de grau 2 é exata para polinômios até grau 3 também.
Mas comotem frequência “2”, veremos diferença nos resultados.
Passo 2
Método de Simpson 1/3 composto (6 subintervalos)
-
Para
, de a : -
. - Nós
. - Avaliamos
. - Soma composta:$$S=f_{0}+4(f_{1}+f_{3}+f_{5})+2(f_{2}+f_{4})+f_{6}=0+4,(1/4+1+1/4)+2,(3/4+3/4)+0=9.
I_{1}\approx \frac{h}{3}S=\frac{\pi/6}{3}\times9=\frac{\pi}{2}.$$
-
-
Para
, de a : -
. -
,
. - Soma:
- Logo
-
Passo 3
Método de Simpson 3/8 composto (6 subintervalos = 2 blocos de 3)
-
Para
, de a , com : - Cada bloco de 3 subintervalos tem fórmula
- Bloco 1: dea dá .
- Bloco 2: dea idem, dá .
- Soma:.
- Cada bloco de 3 subintervalos tem fórmula
-
Para
, de a , com : - Bloco 1: de
a dá$$\frac{3h}{8}\bigl[0+3\cdot\tfrac34+3\cdot\tfrac34+0\bigr]=\frac{\pi/8},(4.5)=\frac{9\pi}{16}.$$
- Bloco 2: dea é igual (função periódica), mais .
- Soma:
- Bloco 1: de
Passo 4
Quadratura de Gauss de 2 pontos
Fórmula geral em
:
$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\Bigl[f\bigl(\tfrac{a+b}{2}-\tfrac{b-a}{2\sqrt3}\bigr)
+f\bigl(\tfrac{a+b}{2}+\tfrac{b-a}{2\sqrt3}\bigr)\Bigr].$$
-
Para
( , ): - Pontos
. - Em cada ponto
. - Logo$$I_{1}\approx \frac{\pi}{2},2\cos^2!\Bigl(\tfrac{\pi}{2\sqrt3}\Bigr)=\pi\cos^2!\Bigl(\tfrac{\pi}{2\sqrt3}\Bigr)\approx1{,}190.$$
- Pontos
-
Para
( , ): - Pontos
e
. - Em cada ponto
. - Logo$$I_{2}\approx \pi;2\sin^2!\Bigl(\tfrac{\pi}{\sqrt3}\Bigr)=2\pi\sin^2!\Bigl(\tfrac{\pi}{\sqrt3}\Bigr)\approx6{,}088.$$
- Pontos
Passo 5
Comparando tudo:
Método | I₁ ≈ | I₂ ≈ | Exato |
---|---|---|---|
Simpson 1/3 | π/2=1,571 | π=3,142 | π/2=1,571; π=3,142 |
Simpson 3/8 | π/2=1,571 | 9π/8=3,5343 | — |
Gauss 2 pontos | ≈1,190 | ≈6,088 | — |
Por que?
- Simpson 1/3 composto, com 6 subintervalos, “acerta” a média de
ao longo de um período inteiro ou meio-período, e ficou exato. - Simpson 3/8 composto também é exato em
, mas, ao usar dois blocos em , perde a simetria ideal da função periódica e aparece erro em . - A quadratura de Gauss de ordem 2 só vê
em dois pontos – não capta bem o comportamento oscilatório de – e erra pesado em ambas.
Resposta
I₁ e I₂ aproximados pelos métodos:
- Simpson 1/3: I₁=π/2, I₂=π.
- Simpson 3/8: I₁=π/2, I₂=9π/8≈3,5343.
- Gauss 2 pontos: I₁≈1,190, I₂≈6,088.
Valores exatos: I₁=π/2≈1,571, I₂=π≈3,142.