Um veículo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os resultados abaixo, quando se analisou o consumo de combustível de acordo com a velocidade média imposta ao veículo. Os testes foram realizados em rodovia em operação normal de tráfego, numa distância de 72 km .
VELOCIDADE
|
55 | 70 | 85 | 100 | 120 | 140 |
---|---|---|---|---|---|---|
CONSUMO
|
14,08 | 13,56 | 13,28 | 12,27 | 11,3 | 10,4 |
Usando interpolação por Método de Newton e Lagrange, determine o polinômio interpolador de grau 3 e utilize três casas decimais.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar um polinômio de grau 3 que “passe” por quatro pontos tirados daquela tabela (consumo vs. velocidade). Isso é interpolação polinomial, e a gente vai usar os métodos de Newton e de Lagrange. Para isso, precisamos:
- Escolher 4 pares
. Vou usar os primeiros quatro:
. - Montar diferenças divididas (para Newton).
- Montar as bases de Lagrange (para Lagrange).
Passo 2
Método de Newton – diferenças divididas
- Organiza os pontos:
x₀=55, y₀=14,08
x₁=70, y₁=13,56
x₂=85, y₂=13,28
x₃=100,y₃=12,27 - Calcula as diferenças de 1ª ordem:
- Diferenças de 2ª ordem:
- Diferença de 3ª ordem:
Passo 3
Polinômio de Newton
A forma geral é
A forma geral é
Substituindo os valores que achamos e arredondando a 3 casas decimais em cada coeficiente:
Passo 4
Método de Lagrange
Para conferência, montamos também em Lagrange:
Para conferência, montamos também em Lagrange:
onde
Detalhando:
e checamos que, ao somar
, dá exatamente o mesmo polinômio
acima.
Resposta
O polinômio interpolador de grau 3 (comcoef. a três casas decimais) é