Um veículo de fabricação nacional, após vários testes, apresentou os resultados abaixo, quando se analisou o consumo de combustível de acordo com a velocidade média imposta ao veículo. Os testes foram realizados em rodovia em operação normal de tráfego, numa distância de 72 km .
VELOCIDADE (km / h) 55 70 85 100 120 140
CONSUMO (km / L) 14,08 13,56 13,28 12,27 11,3 10,4
Usando interpolação por Método de Newton e Lagrange, determine o polinômio interpolador de grau 3 e utilize três casas decimais.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar um polinômio de grau 3 que “passe” por quatro pontos tirados daquela tabela (consumo vs. velocidade). Isso é interpolação polinomial, e a gente vai usar os métodos de Newton e de Lagrange. Para isso, precisamos:
  1. Escolher 4 pares . Vou usar os primeiros quatro:
    .
  2. Montar diferenças divididas (para Newton).
  3. Montar as bases de Lagrange (para Lagrange).

Passo 2

Método de Newton – diferenças divididas
  1. Organiza os pontos:
    x₀=55, y₀=14,08
    x₁=70, y₁=13,56
    x₂=85, y₂=13,28
    x₃=100,y₃=12,27
  2. Calcula as diferenças de 1ª ordem:
f[x₀,x₁]&=13,56-14,0870-55=-0,034667, f[x₁,x₂]&=13,28-13,5685-70=-0,018667, f[x₂,x₃]&=12,27-13,28100-85=-0,067333
  1. Diferenças de 2ª ordem:
f[x₀,x₁,x₂] &=-0,018667-(-0,034667)85-55 =0,0005333, f[x₁,x₂,x₃] &=-0,067333-(-0,018667)100-70 =-0,0016222
  1. Diferença de 3ª ordem:
f[x₀,x₁,x₂,x₃] =-0,0016222-0,0005333100-55 =-0,0000479

Passo 3

Polinômio de Newton
A forma geral é
P3(x)=y₀ +f[x₀,x₁],(x-x₀) +f[x₀,x₁,x₂],(x-x₀)(x-x₁) +f[x₀,x₁,x₂,x₃],(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)
Substituindo os valores que achamos e arredondando a 3 casas decimais em cada coeficiente:
boxed P3(x)=14,080 -0,035,(x-55) +0,001,(x-55)(x-70) -0,000,(x-55)(x-70)(x-85)

Passo 4

Método de Lagrange
Para conferência, montamos também em Lagrange:
P3(x)=sumi=0^3 yi,elli(x),
onde
elli(x)=prodsubstackj=0jneq i^3x-xjxi-xj
Detalhando:
ell0(x)=(x-70)(x-85)(x-100)(55-70)(55-85)(55-100),;dots,;ell3(x)=(x-55)(x-70)(x-85)(100-55)(100-70)(100-85),
e checamos que, ao somar , dá exatamente o mesmo polinômio acima.

Resposta

O polinômio interpolador de grau 3 (comcoef. a três casas decimais) é
boxed P3(x)=14,080 -0,035,(x-55) +0,001,(x-55)(x-70) -0,000,(x-55)(x-70)(x-85)

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