Seja uma tabela dada por:
x 0,8 0,9 1,0 1,1 1,3 1,5
f(x) 0,6967 0,6216 0,5403 0,4536 0,2675 0,0707
Usando apenas os 4 últimos pontos da tabela, estime o valor de f(1,6) com o ajuste pela reta dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, temos uma tabela com pares (1.0,0.5403),;(1.1,0.4536),;(1.3,0.2675),;(1.5,0.0707) e a gente só vai usar os 4 últimos pontos:
O conteúdo aqui é “Ajuste de reta pelos mínimos quadrados” (regressão linear simples). Pra resolver, vamos precisar:
  • da ideia de reta que minimiza soma de quadrados dos erros;
  • das fórmulas de e em termos de somatórios , , , ;
  • calcular esses somatórios e, depois, usar a reta ajustada pra estimar .

Passo 2

O esquema do ajuste por mínimos quadrados é achar b = nsum xi yi ;-;sum xi sum yi nsum xi^2 ;-;(sum xi)^2, a = sum yi - b,sum xin, e que minimizam
.
As fórmulas fechadas são:
onde é o número de pontos (aqui ).

Passo 3

Calcular os somatórios para os 4 pontos:
sum xi &= 1.0 + 1.1 + 1.3 + 1.5 = 4.9, sum yi &= 0.5403 + 0.4536 + 0.2675 + 0.0707 = 1.3321, sum xi^2 &= 1.0^2 + 1.1^2 + 1.3^2 + 1.5^2 = 1.00 + 1.21 + 1.69 + 2.25 = 6.15, sum xi yi &= 1.0cdot0.5403 + 1.1cdot0.4536 + 1.3cdot0.2675 + 1.5cdot0.0707 = 1.49306

Passo 4

Agora aplicamos nas fórmulas:
b = 4cdot1.49306 - (4.9)(1.3321)4cdot6.15 - (4.9)^2 = 5.97224 - 6.5272924.6 - 24.01 = -0.555050.59 approx -0.9406,
a = 1.3321 - (-0.9406),4.94 = 1.3321 + 4.60894 = 5.94104 approx 1.4853
Então a reta ajustada é
hat f(x) = a + b,x approx 1.4853 - 0.9406,x

Passo 5

Pra estimar hat f(1.6) = 1.4853 - 0.9406cdot1.6 approx 1.4853 - 1.5049 = -0.0196 , basta pôr na reta:

Resposta

A estimativa pelo ajuste de mínimos quadrados nos 4 últimos pontos é
boxedf(1.6)approx -0.0196

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