A equação 4 x^2-e^x-e^-x=0 tem quatro soluções pm x1 e pm x2. Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação da solução com precisão de 10^-5, com os valores de p0 a seguir.
p0=-3

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: a equação
4x^2 - e^x - e^-x = 0
que tem quatro soluções simétricas (±x₁ e ±x₂). A parada aqui é usar o método de Newton pra achar uma aproximação de uma dessas raízes, começando com o chute inicial pn+1 = pn - f(pn)f'(pn) e parando quando a diferença entre iterações for menor que .
Conteúdo: Método de Newton (ou Newton–Raphson).
O que vamos precisar:
- A função e sua derivada .
- A fórmula de iteração de Newton:

Passo 2

Primeiro, identificamos:
f'(x) = 8x - e^x + e^-x.
Pra Newton a gente precisa de pn+1 = pn - 4pn^2 - e^pn - e^-pn8pn - e^pn + e^-pn. Diferenciando, dá:

Então a fórmula de iteração fica:

Passo 3

Vamos aplicar com o chute p1 = -3 - 15.8647-3.9643approx 1.0017.
  1. Calc. e :

  2. Iteração:

Passo 4

Agora com p2 = 1.0017 - 0.92275.6580approx0.8386:

Passo 5

Com p3 = 0.8386 - 0.06684.8269approx0.8247:

Passo 6

Com p4 = 0.8247 - 0.0012474.7550approx0.8245:

Passo 7

Continuando até estabilizar dentro de :
  • (diferença )

Resposta

A raiz aproximada obtida pelo método de Newton, a partir de boxedxapprox 0.82457 , é
com precisão de .

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