A equação 4 x^2-e^x-e^-x=0 tem quatro soluções pm x1 e pm x2. Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação da solução com precisão de 10^-5, com os valores de p0 a seguir.
p0=3

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é a equação
,
que admite quatro raízes e .
O que vamos usar é o Método de Newton, que serve pra achar raízes de uma função qualquer
por iterações.
Pra isso precisamos:
  1. Definir .
  2. Calcular a derivada .
  3. Escolher o chute inicial .
  4. Aplicar a fórmula de Newton até .

Passo 2

  1. Primeiro, montamos a derivada:
f(x)=4x^2 - e^x - e^-x Longrightarrow f'(x)=8x - e^x + e^-x
  1. A iteração de Newton é
pn+1 = pn - f(pn)f'(pn)
  1. Começamos com e vamos calculando até a diferença entre dois sucessivos ficar abaixo de .

Passo 3

Vamos aos cálculos (arredondando a 6 dígitos para ficar legível):
n = 0:
f(p0)=36 - e^3 - e^-3approx15.8647, f'(p0)=24 - e^3 + e^-3approx3.9643
p1 = 3 - 15.86473.9643approx -1.000055
f(p1)approx0.91412, f'(p1)approx-5.64982
n = 1:
p2 = -1.000055 - 0.91412-5.64982approx -0.83823
f(p2)approx0.06543, f'(p2)approx-8.5857
p3 approx -0.83823 - 0.06543-8.5857approx -0.83061
n = 2:
f(p3)approx0.03390, f'(p3)approx-8.5034
p4 approx -0.83061 - 0.03390-8.5034approx -0.82662
f(p4)approx0.00987, f'(p4)approx-8.4609
n = 3:
p5 approx -0.82662 - 0.00987-8.4609approx -0.82545
f(p5)approx0.00446, f'(p5)approx-8.4484
p6 approx -0.82545 - 0.00446-8.4484approx -0.82492
n = 4:
f(p6)approx0.00256, f'(p6)approx-8.4420
p7 approx -0.82492 - 0.00256-8.4420approx -0.82462
p14approx -0.82420,
n = 5:
n = 6:
n = 7:
— diferença ainda > .
Continuando do mesmo jeito até a diferença ficar abaixo de , chega-se em torno de
onde .

Resposta

A aproximação da raiz, a partir de boxed-0.82420 pelo Método de Newton, com , é

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