A equação 4 x^2-e^x-e^-x=0 tem quatro soluções pm x1 e pm x2. Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação da solução com precisão de 10^-5, com os valores de p0 a seguir.
p0=5

Passo 1

O exercício pede para usar o método de Newton a fim de aproximar uma solução da equação
4x^2 - e^x - e^-x = 0
com precisão 10^-5, começando em p0=5.
Conteúdo: método de Newton para achar raízes de função, derivada da função. Vamos precisar:
1) definir f(x)=4x^2 - e^x - e^-x,
2) achar f'(x),
3) iterar pn+1 = pn - f(pn)f'(pn)
até que |pn+1-pn|<10^-5.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada:
f(x)=4x^2 - e^x - e^-x,
f'(x)=8x - e^x + e^-x
A fórmula do método de Newton fica, então,
pn+1 = pn - 4pn^2 - e^pn - e^-pn8pn - e^pn + e^-pn

Passo 3

Agora é só rodar as iterações até estabilizar dentro de 10^-5:
  1. p0 = 5
    f(p0)=4cdot5^2 - e^5 - e^-5approx -48.4197,
    f'(p0)=8cdot5 - e^5 + e^-5approx -108.4063,
    p1 = 5 - -48.4197-108.4063approx 4.5534
  2. p1 = 4.5534
    f(p1)approx -12.0102,
    f'(p1)approx -58.5620,
    p2 = 4.5534 - -12.0102-58.5620approx 4.3483
  3. p2 = 4.3483
    f(p2)approx -1.6279,
    f'(p2)approx -42.4690,
    p3 = 4.3483 - -1.6279-42.4690approx 4.30997
  4. p3 = 4.30997
    f(p3)approx -0.2044,
    f'(p3)approx -39.9230,
    p4 = 4.30997 - -0.2044-39.9230approx 4.30749
  5. p4 = 4.30749
    f(p4)approx -0.0141,
    f'(p4)approx -39.7180,
    p5 = 4.30749 - -0.0141-39.7180approx 4.30714
  6. p5 = 4.30714
    f(p5)approx -0.00020,
    f'(p5)approx -39.7060,
    p6 = 4.30714 - -0.00020-39.7060approx 4.30714
A diferença |p6 - p5| approx 3times10^-7 já é menor que 10^-5.

Resposta

A solução aproximada, com precisão 10^-5, é
x approx 4.30714,

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