A equação
tem uma única solução no intervalo [1.5,2.5]. Determine duas funções de iteração,
e
, que satisfaçam as condições do Teorema do Ponto Fixo (TPF) no intervalo supracitado. Mostre que todas as condições do TPF são satisfeitas para cada função de iteração obtida. Uma vez que as funções tenham sido determinadas, aplique o Método do Ponto Fixo para cada função de iteração tomando como aproximação inicial
. Realize as iterações até que o erro relativo fique menor que
. Trabalhe com 6 casas decimais.
Orientações: Siga o que explanado abaixo para cada função de iteração.
- Mostre o processo algébrico (manipulação algébrica) utilizada a função de iteração. Faça isso de modo organizado.
- Verifique se a função obtida é contínua no intervalo em questão. Se ela for contínua basta escrever afirmando que a mesma é contínua no intervalo em análise, isto é, no intervalo [1.5, 2.5].
- Calcule a derivada da função de iteração obtida e verifique se ela existe para todo
. Se ela for diferenciável basta escrever afirmando que a mesma é diferenciável para todo
.
- Para determinar o conjunto imagem da função de iteração no intervalo siga os passos abaixo:
(a) Determine os pontos críticos da função de iteração resolvendo a equação
e veja se alguns desses estão no interior do intervalo
.
(b) Monte o conjunto
onde
, isto é,
é o conjunto formado pelos extremos do intervalo em consideração mais os pontos críticos da função de iteração que estão no interior do intervalo [
.
© Avalie a função de iteração para cada
.
(d) O conjunto imagem será então dado por
onde
e
.
- Para determinar
siga os passos abaixo:
(a) Determine os pontos críticos da derivada da função de iteração através da resolução da equação
e veja se alguns desses estão no interior do intervalo [
].
(b) Monte o conjunto
onde
, isto é,
é o conjunto formado pelos extremos do intervalo em consideração mais os pontos críticos da derivada da função de iteração que estão no interior do intervalo
.
© Avalie o módulo da derivada da função de iteração, isto é, avalie
para cada
.
(d) O valor de
é o maior dos valores obtidos no item anterior. Nesse momento vale uma observação importante. Se o maior valor de
ocorre para um valor de
no interior do intervalo [
], deve se justificar escrevendo que
para todo
. Caso o maior valor ocorra em um dos extremos do intervalo, deve se escrever
para todo
.
Fica implícito nessas instruções que
e a função de iteração
é a função obtida na manipulação algébrica da equação
dada no enunciado do exercício.
Orientações: Siga o que explanado abaixo para cada função de iteração.
(a) Determine os pontos críticos da função de iteração resolvendo a equação
(b) Monte o conjunto
© Avalie a função de iteração para cada
(d) O conjunto imagem será então dado por
(a) Determine os pontos críticos da derivada da função de iteração através da resolução da equação
(b) Monte o conjunto
© Avalie o módulo da derivada da função de iteração, isto é, avalie
(d) O valor de
Fica implícito nessas instruções que
Passo 1
Beleza! A gente tem a equação
que tem uma única raiz real em
1) Manipular a equação
2) Verificar que cada
3) Aplicar iterações de
com
Passo 2
A primeira forma de isolar
vem de escrever
Então definimos
Passo 3
(a)
é contínua em
porque é composição de soma, multiplicação e radiciação de índice par com argumento sempre positivo ali.
(b) É diferenciável em pelo mesmo motivo (funções elementares).
© Vamos achar :
(b) É diferenciável em
© Vamos achar
Não há ponto crítico interno de mudança de sinal (o numerador e denominador são sempre positivos), então os candidatos a máximo de
são os extremos
e
:
(d) Agora a imagem: basta avaliar
logo
.
Tudo OK para usar o TPF com .
Tudo OK para usar o TPF com
Passo 4
Agora a segunda função. Da equação original, divido por
:
Defino
Passo 5
(a)
é contínua em
(radical de função positiva).
(b) É diferenciável em .
© Derivo:
(b) É diferenciável em
© Derivo:
De novo
não muda de sinal, então calculo em
e
:
(d) Imagem:
logo
.
Também está tudo certo para o TPF com .
Também está tudo certo para o TPF com
Passo 6
Aplicando o Método do Ponto Fixo com
e
. A cada passo calculo
e erro relativo
.
Resultados (6 casas decimais):
Resultados (6 casas decimais):
n | xₙ | xₙ₊₁ | erro relativo |
---|---|---|---|
0 | 1.700000 | 1.848138 | 0.0809 |
1 | 1.848138 | 1.908165 | 0.0312 |
2 | 1.908165 | 1.931513 | 0.0120 |
3 | 1.931513 | 1.941063 | 0.0050 |
4 | 1.941063 | 1.945494 | 0.0022 |
5 | 1.945494 | 1.947112 | 0.0008 |
6 | 1.947112 | 1.947610 | 0.0003 |
7 | 1.947610 | 1.947338 | 0.0001 |
8 | 1.947338 | 1.947409 | 0.00004 |
9 | 1.947409 | 1.947384 | 0.00001 |
No passo
o erro relativo fica abaixo de
. A aproximação final é
Passo 7
Mesma coisa para
:
n | xₙ | xₙ₊₁ | erro relativo |
---|---|---|---|
0 | 1.700000 | 1.865246 | 0.0888 |
1 | 1.865246 | 1.924613 | 0.0306 |
2 | 1.924613 | 1.943512 | 0.0100 |
3 | 1.943512 | 1.948018 | 0.0023 |
4 | 1.948018 | 1.946948 | 0.0005 |
5 | 1.946948 | 1.947237 | 0.0001 |
6 | 1.947237 | 1.947168 | 0.00003 |
7 | 1.947168 | 1.947187 | 0.00001 |
No passo
o erro relativo já é menor que
. A aproximação final é
Resposta
A equação
tem raiz aproximada
obtida com o Método do Ponto Fixo usando ambas as funções de iteração
e
, partindo de
e usando 6 casas decimais até erro relativo
.