A equação
x^4-3 x^2-3=0
tem uma única solução no intervalo [1.5,2.5]. Determine duas funções de iteração, phi1(x) e phi2(x), que satisfaçam as condições do Teorema do Ponto Fixo (TPF) no intervalo supracitado. Mostre que todas as condições do TPF são satisfeitas para cada função de iteração obtida. Uma vez que as funções tenham sido determinadas, aplique o Método do Ponto Fixo para cada função de iteração tomando como aproximação inicial x0=1.7. Realize as iterações até que o erro relativo fique menor que varepsilon=10^-5. Trabalhe com 6 casas decimais.
Orientações: Siga o que explanado abaixo para cada função de iteração.
  • Mostre o processo algébrico (manipulação algébrica) utilizada a função de iteração. Faça isso de modo organizado.
  • Verifique se a função obtida é contínua no intervalo em questão. Se ela for contínua basta escrever afirmando que a mesma é contínua no intervalo em análise, isto é, no intervalo [1.5, 2.5].
  • Calcule a derivada da função de iteração obtida e verifique se ela existe para todo x in(1.5,2.5). Se ela for diferenciável basta escrever afirmando que a mesma é diferenciável para todo x in(1.5,2.5).
  • Para determinar o conjunto imagem da função de iteração no intervalo siga os passos abaixo:
    (a) Determine os pontos críticos da função de iteração resolvendo a equação phi^prime(x)=0 e veja se alguns desses estão no interior do intervalo [a, b].
    (b) Monte o conjunto S onde S=a, x1, ldots, xn, b, isto é, S é o conjunto formado pelos extremos do intervalo em consideração mais os pontos críticos da função de iteração que estão no interior do intervalo [ a, b].
    © Avalie a função de iteração para cada x in S.
    (d) O conjunto imagem será então dado por Im(phi)=[c, d] onde c=min x in S phi(x) e d=max x in S phi(x).
  • Para determinar L=max a <= x <= b|phi^prime(x)| siga os passos abaixo:
    (a) Determine os pontos críticos da derivada da função de iteração através da resolução da equação phi^primeprime(x)=0 e veja se alguns desses estão no interior do intervalo [ a, b ].
    (b) Monte o conjunto S onde S=a, x1, ldots, xn, b, isto é, S é o conjunto formado pelos extremos do intervalo em consideração mais os pontos críticos da derivada da função de iteração que estão no interior do intervalo [a, b].
    © Avalie o módulo da derivada da função de iteração, isto é, avalie |phi^prime(x)| para cada x in S.
    (d) O valor de L é o maior dos valores obtidos no item anterior. Nesse momento vale uma observação importante. Se o maior valor de L ocorre para um valor de x no interior do intervalo [ a, b ], deve se justificar escrevendo que |phi^prime(x)| <= L para todo x in(a, b). Caso o maior valor ocorra em um dos extremos do intervalo, deve se escrever |phi^prime(x)| para todo x in(a, b).
    Fica implícito nessas instruções que [a, b]=[1.5,2.5] e a função de iteração phi(x) é a função obtida na manipulação algébrica da equação f(x)=0 dada no enunciado do exercício.

Passo 1

Beleza! A gente tem a equação
x^4 - 3x^2 - 3 = 0
que tem uma única raiz real em xn+1 = phii(xn) . O conteúdo aqui é o Teorema do Ponto Fixo (TPF) e o Método do Ponto Fixo. Para resolver, vamos:
1) Manipular a equação para isolar em duas formas diferentes e chamar cada uma de e .
2) Verificar que cada é contínua e diferenciável em , que ela manda dentro dela mesma, e que .
3) Aplicar iterações de

com até que o erro relativo . Vamos usar 6 casas decimais em cada passo.

Passo 2

A primeira forma de isolar x^4 = 3x^2 + 3 Longrightarrow x = l(3x^2+3r)^1/4 vem de escrever
phi1(x) = (3x^2+3)^1/4
Então definimos

Passo 3

(a) phi1'(x) = 14(3x^2+3)^-3/4cdot 6x = 3x2,(3x^2+3)^3/4 é contínua em |phi1'(1.5)|approx0.408, |phi1'(2.5)|approx0.372 Longrightarrow L1=max|phi1'|=0.408<1 porque é composição de soma, multiplicação e radiciação de índice par com argumento sempre positivo ali.
(b) É diferenciável em phi1(1.5)=(3cdot1.5^2+3)^1/4approx1.768, phi1(2.5)approx2.159, pelo mesmo motivo (funções elementares).
© Vamos achar :
Não há ponto crítico interno de mudança de sinal (o numerador e denominador são sempre positivos), então os candidatos a máximo de são os extremos e :
(d) Agora a imagem: basta avaliar
logo .
Tudo OK para usar o TPF com .

Passo 4

Agora a segunda função. Da equação original, divido por x^2 = 3 + 3x^2 ;Longrightarrow; x = raiz,3 + 3x^2, :
phi2(x) = raiz3 + 3/x^2
Defino

Passo 5

(a) phi2'(x) = 12l(3+3x^-2r)^-1/2cdot(-6x^-3) = -3x^3raiz3+3/x^2 é contínua em |phi2'(1.5)|approx0.427, |phi2'(2.5)|approx0.103 Longrightarrow L2=0.427<1 (radical de função positiva).
(b) É diferenciável em phi2(1.5)approx2.082, phi2(2.5)approx1.865, .
© Derivo:
De novo não muda de sinal, então calculo em e :
(d) Imagem:
logo .
Também está tudo certo para o TPF com .

Passo 6

Aplicando o Método do Ponto Fixo com x10approx1.947384 e . A cada passo calculo e erro relativo
.
Resultados (6 casas decimais):
n xₙ xₙ₊₁ erro relativo
0 1.700000 1.848138 0.0809
1 1.848138 1.908165 0.0312
2 1.908165 1.931513 0.0120
3 1.931513 1.941063 0.0050
4 1.941063 1.945494 0.0022
5 1.945494 1.947112 0.0008
6 1.947112 1.947610 0.0003
7 1.947610 1.947338 0.0001
8 1.947338 1.947409 0.00004
9 1.947409 1.947384 0.00001
No passo o erro relativo fica abaixo de . A aproximação final é

Passo 7

Mesma coisa para x8approx1.947187 :
n xₙ xₙ₊₁ erro relativo
0 1.700000 1.865246 0.0888
1 1.865246 1.924613 0.0306
2 1.924613 1.943512 0.0100
3 1.943512 1.948018 0.0023
4 1.948018 1.946948 0.0005
5 1.946948 1.947237 0.0001
6 1.947237 1.947168 0.00003
7 1.947168 1.947187 0.00001
No passo o erro relativo já é menor que . A aproximação final é

Resposta

A equação boxedxapprox1.9472, tem raiz aproximada
obtida com o Método do Ponto Fixo usando ambas as funções de iteração
e , partindo de e usando 6 casas decimais até erro relativo .

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