A função f: R R é definida por f(x)=x^5-13 x^4+59 x^3-107 x^2+60 x. As raízes da equação f(x)=0 são: x1=0, x2=1, x3=3, x4=4 e x5=5. Suponha que a identificação das raízes fosse realizada através do método da bisseção com intervalo inicial [-2,6].
Nessas condições, para qual raiz as iterações iriam convergir?

Passo 1

Beleza, a questão é a seguinte: temos a função
f(x)=x^5-13x^4+59x^3-107x^2+60x
cuja equação f(x)=0 tem raízes conhecidas em x=0,1,3,4,5. A gente vai aplicar o método da bisseção no intervalo inicial [-2,6] e descobrir em qual dessas raízes o método vai convergir.
Conteúdo: Método da Bisseção (achar raiz de função contínua usando troca de sinal).
O que precisamos:
1) Entender que a bisseção funciona pegando um intervalo onde f(a)cdot f(b)<0.
2) Calcular f em pontos médios e ir refinando até achar a raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos checar o sinal de f(x) nas bordas do intervalo:
  • Em x=-2:
f(-2)=(-2)^5-13(-2)^4+59(-2)^3-107(-2)^2+60(-2)
Calcule passo a passo:
(-2)^5 = -32
(-2)^4 = 16, então -13·16 = -208
(-2)^3 = -8, então 59·(-8) = -472
(-2)^2 = 4, então -107·4 = -428
60·(-2) = -120
Somando tudo:
f(-2)=-32-208-472-428-120=-1260
Ou seja, f(-2)<0.
  • Em x=6:
f(6)=6^5-13·6^4+59·6^3-107·6^2+60·6
6^5=7776
6^4=1296, -13·1296 = -16848
6^3=216, 59·216=12744
6^2=36, -107·36=-3852
60·6=360
Somando:
f(6)=7776-16848+12744-3852+360=180>0
Então f(-2)<0 e f(6)>0, temos de fato mudança de sinal, e a bisseção pode ser aplicada.

Passo 3

Na bisseção, pegamos o ponto médio do intervalo [-2,6]:
c1=-2+62=2
Calculamos f(2):
f(2)=2^5-13·2^4+59·2^3-107·2^2+60·2
2^5=32
2^4=16, -13·16=-208
2^3=8, 59·8=472
2^2=4, -107·4=-428
60·2=120
Somando:
f(2)=32-208+472-428+120=-12<0
Agora temos f(2)<0 e f(6)>0, então a raiz está em [2,6].

Passo 4

Repetimos a bisseção em [2,6]. O ponto médio é
c2=2+62=4
Agora calcule f(4):
Mas a própria questão nos diz que x=4 é uma raiz, logo
f(4)=0
Quando o método da bisseção encontra exatamente f(c)=0, ele terminou: achamos a raiz.

Resposta

A bisseção, a partir do intervalo [-2,6], vai convergir para a raiz x=4.

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