Use o método da bissecção para encontrar soluções com precisão da ordem de
para
.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra usar o método da bissecção e achar todas as soluções de
com precisão de
. Isso tá na parte de métodos numéricos para encontrar raízes de funções, e o que a gente precisa é:
- achar intervalos
onde e têm sinais opostos (isso garante uma raiz dentro), - aplicar a bissecção (dividir o intervalo ao meio, ver em qual subintervalo o sinal muda, e repetir) até que o tamanho do intervalo seja pequeno o suficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde a curva cruza o eixo
. Avaliando uns pontos:
-
e , então há uma raiz em . -
e , logo tem raiz em . -
e , então mais uma em .
Agora já temos três intervalos, cada um contendo uma raiz diferente.
Passo 3
Vou explicar rapidinho o método da bissecção usando o primeiro intervalo
como exemplo. A ideia é:
- Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. - Se
, a raiz está em ; senão, está em . - Repetir até que
(garante que o erro em seja menor que ).
Como
tem comprimento 1, basta fazer iterações até
. Em 6 iterações já temos
. Eis um resumo das iterações (valores aproximados de
arredondados):
Iteração |
|
|
|
|
Novo intervalo |
---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 1 | 0.50 |
|
|
2 | 0.5 | 1 | 0.75 |
|
|
3 | 0.5 | 0.75 | 0.625 |
|
|
4 | 0.5 | 0.625 | 0.5625 |
|
|
5 | 0.5625 | 0.625 | 0.59375 |
|
|
6 | 0.5625 | 0.59375 | 0.578125 |
|
|
Depois desta 6ª iteração, o intervalo tem tamanho
e
, ou seja, a raiz aproximada é
Passo 4
Fazendo o mesmo truque (cerca de 6 iterações) nos outros dois intervalos:
- Em
a raiz sai . - Em
a raiz sai .
O procedimento teórico é idêntico: checar
,
, dividir, escolher subintervalo de troca de sinal, até a largura chegar em
.
Resposta
As raízes de
encontradas por bissecção com precisão
são, aproximadamente: