Use o método da bissecção para encontrar soluções com precisão da ordem de 10^-2 para x^3-7 x^2+14 x-6=0.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra usar o método da bissecção e achar todas as soluções de
f(x)=x^3-7x^2+14x-6=0
com precisão de . Isso tá na parte de métodos numéricos para encontrar raízes de funções, e o que a gente precisa é:
  1. achar intervalos onde e têm sinais opostos (isso garante uma raiz dentro),
  2. aplicar a bissecção (dividir o intervalo ao meio, ver em qual subintervalo o sinal muda, e repetir) até que o tamanho do intervalo seja pequeno o suficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde a curva cruza o eixo . Avaliando uns pontos:
  • e , então há uma raiz em .
  • e , logo tem raiz em .
  • e , então mais uma em .
Agora já temos três intervalos, cada um contendo uma raiz diferente.

Passo 3

Vou explicar rapidinho o método da bissecção usando o primeiro intervalo 0.59375 - 0.5625 = 0.03125, como exemplo. A ideia é:
  1. Calcular o ponto médio x1 approx c = 0.578125approx 0.58 .
  2. Avaliar .
  3. Se , a raiz está em ; senão, está em .
  4. Repetir até que (garante que o erro em seja menor que ).
Como tem comprimento 1, basta fazer iterações até . Em 6 iterações já temos . Eis um resumo das iterações (valores aproximados de arredondados):
Iteração Novo intervalo
1 0 1 0.50
2 0.5 1 0.75
3 0.5 0.75 0.625
4 0.5 0.625 0.5625
5 0.5625 0.625 0.59375
6 0.5625 0.59375 0.578125
Depois desta 6ª iteração, o intervalo tem tamanho
e , ou seja, a raiz aproximada é

Passo 4

Fazendo o mesmo truque (cerca de 6 iterações) nos outros dois intervalos:
  • Em a raiz sai .
  • Em a raiz sai .
O procedimento teórico é idêntico: checar , , dividir, escolher subintervalo de troca de sinal, até a largura chegar em .

Resposta

As raízes de boxedxapprox0.58, xapprox3.00, xapprox3.41 encontradas por bissecção com precisão são, aproximadamente:

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