A equação x^3-2 x-17=0 tem apenas uma raiz real. Determine seu valor correto até duas casas decimais usando o método de Newton-Raphson e o método de Posição Falsa. Dica: Utilize eps=0.1

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação
f(x)=x^3-2x-17=0
Ela tem só uma raiz real. O assunto é “métodos numéricos para achar raízes”: Newton–Raphson e Posição Falsa.
O que vamos precisar:
  • A função xn+1=xn-f(xn)f'(xn) e sua derivada xnovo = b - f(b),b-af(b)-f(a) .
  • A fórmula de Newton:
  • A fórmula da Posição Falsa (regula falsi), que é tipo uma reta entre e :
  • Critério de parada: , com .

Passo 2

Método de Newton–Raphson
  1. Definimos
f(x)=x^3-2x-17, f'(x)=3x^2-2
  1. Escolhemos palpite inicial f(3)=27-6-17=4, f'(3)=3cdot9-2=25 (porque x1=3-425=3-0.16=2.84 e f(2.84)=2.84^3-2cdot2.84approx22.939-5.68=0.259 ).
  2. Iteração 1:
f'(2.84)=3cdot2.84^2-2approx3cdot8.066-2=22.198
x2=2.84-0.25922.198approx2.84-0.0117=2.8283
Diferença , então continua.
4) Iteração 2:
Diferença , parámos.

Passo 3

Método da Posição Falsa
  1. Tomamos o intervalo x1 = 3 - 4cdot3-24-(-13) = 3 - 417approx2.7647 , pois f(2.7647)approx2.7647^3-2cdot2.7647approx21.114-5.5294=-1.4154 e x2 = 3 - 4cdot3-2.76474-(-1.4154) =3 - 4cdot0.23535.4154approx2.8260 .
  2. Iteração 1:
Como , substituímos .
3) Iteração 2:
Diferença , parámos.

Resposta

Usando , a raiz aproximada até duas casas decimais é
  • Newton–Raphson:
  • Posição Falsa :

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