Mostre que a seguinte equação possui exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo [0.5,1].
x e^x-1=0
Determine essa raiz com até duas casas decimais corretas (i.e., com epsilon=10^-2 ), usando o método da Bisseção.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos a equação
f(x)=x,e^x - 1 = 0
e queremos duas coisas:
  1. Mostrar que existe uma única raiz e que ela fica no intervalo .
  2. Aproximar essa raiz com erro máximo (ou seja, duas casas decimais corretas) usando o método da bisseção.
Conteúdo envolvido:
  • Teorema do Valor Intermediário (contínuo muda de sinal ⇒ tem raiz).
  • Monotonicidade (derivada >0 ⇒ função cresce ⇒ raiz única).
  • Método da bisseção (dividir intervalo, testar sinal, refinar até tolerância).

Passo 2

Primeiro, existência e unicidade da raiz em f(0.5)=0.5,e^0.5-1approx0.5cdot1.6487-1=-0.17565<0, .
  1. Definimos f(1)=1cdot e^1-1=e-1approx2.7183-1=1.7183>0 . Como f'(x)=ddx(x e^x)-0 = e^x + x e^x = e^x,(1+x) é combinação de exponencial e polinômio, é contínua em todo .
  2. Calculamos Como e , pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em .
  3. Para ver que é única, usamos a derivada Em , e , então . Isso quer dizer que é estritamente crescente, logo só cruza o zero uma vez.

Passo 3

Agora, o método da bisseção. A ideia é:
  • Partimos do intervalo inicial onde e .
  • Calculamos o ponto médio .
  • Se , achamos a raiz; se tem mesmo sinal de , substituímos , senão substituímos .
  • Repetimos até que o tamanho do intervalo seja menor que . Nesse ponto, garantimos que o erro na raiz é no máximo .

Passo 4

Vamos às iterações (com b-a = 0.5703125 - 0.5625 = 0.0078125 < 0.01 = varepsilon ):


  1. ⇒ raiz em .


  2. ⇒ raiz em .


  3. ⇒ raiz em .


  4. ⇒ raiz em .


  5. ⇒ raiz em .


  6. ⇒ raiz em .
Agora esse último intervalo tem comprimento
Isso garante que o erro na nossa aproximação é menor que , ou seja, temos duas casas decimais corretas.

Resposta

A equação x approx 0.57 tem exatamente uma raiz em , e pelo método da bisseção com a aproximação dessa raiz é

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