Mostre que a seguinte equação possui exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo
.
Determine essa raiz com até duas casas decimais corretas (i.e., com
), usando o método da Bisseção.
Determine essa raiz com até duas casas decimais corretas (i.e., com
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos a equação
e queremos duas coisas:
- Mostrar que existe uma única raiz e que ela fica no intervalo
. - Aproximar essa raiz com erro máximo
(ou seja, duas casas decimais corretas) usando o método da bisseção.
Conteúdo envolvido:
- Teorema do Valor Intermediário (contínuo muda de sinal ⇒ tem raiz).
- Monotonicidade (derivada >0 ⇒ função cresce ⇒ raiz única).
- Método da bisseção (dividir intervalo, testar sinal, refinar até tolerância).
Passo 2
Primeiro, existência e unicidade da raiz em
.
- Definimos
. Como é combinação de exponencial e polinômio, é contínua em todo . - Calculamos
Como e , pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em . - Para ver que é única, usamos a derivada
Em , e , então . Isso quer dizer que é estritamente crescente, logo só cruza o zero uma vez.
Passo 3
Agora, o método da bisseção. A ideia é:
- Partimos do intervalo inicial
onde e . - Calculamos o ponto médio
. - Se
, achamos a raiz; se tem mesmo sinal de , substituímos , senão substituímos . - Repetimos até que o tamanho do intervalo
seja menor que . Nesse ponto, garantimos que o erro na raiz é no máximo .
Passo 4
Vamos às iterações (com
):
-
⇒ raiz em. -
⇒ raiz em. -
⇒ raiz em. -
⇒ raiz em. -
⇒ raiz em. -
⇒ raiz em.
Agora esse último intervalo tem comprimento
Isso garante que o erro na nossa aproximação é menor que
, ou seja, temos duas casas decimais corretas.
Resposta
A equação
tem exatamente uma raiz em
, e pelo método da bisseção com
a aproximação dessa raiz é