Um processo de medição obteve os valores:
e^{\prime}=7,4899999 \quad e^{\prime \prime}=7,48999 \quad e^{\prime \prime \prime}=7,49109 \quad e^{I V}=7,48019
Sabendo-se que o valor exato é 7,489 . Qual é o melhor resultado. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá quatro resultados de uma mesma medição e o valor exato conhecido. As informações são:
e^{\prime}=7,4899999,\quad e^{\prime\prime}=7,48999,\quad e^{\prime\prime\prime}=7,49109,\quad e^{IV}=7,48019
e o valor exato é
\text{valor exato}=7,489.
A pergunta é: “Qual é o melhor resultado?” — ou seja, entre os quatro valores medidos, qual está mais próximo do valor exato. Não me pediram outro tipo de análise, apenas identificar o melhor resultado (com justificativa).

Passo 2

Vou explicar a ferramenta que usaremos para decidir qual é o melhor resultado: o erro absoluto (e também comento o erro relativo).
  • Erro absoluto: é a diferença entre o valor medido e o valor exato, em módulo. Definição:
\text{erro absoluto} = \left|\text{medida} - \text{valor exato}\right|.
Aqui cada variável significa: “medida” é um dos e^{\prime},e^{\prime\prime},\dots e “valor exato” é 7,489. O menor erro absoluto significa “mais próximo” — portanto mais preciso em relação ao valor verdadeiro (maior acurácia).
  • Erro relativo: é o erro absoluto dividido pelo valor exato, dá uma ideia de quão grande é o erro em relação à grandeza medida:
\text{erro relativo} = \frac{\text{erro absoluto}}{|\text{valor exato}|}.
Vou calcular ambos para comparar bem.

Passo 3

Calculo dos erros absolutos, um a um (faço a subtração e depois o módulo):
Para e^{\prime}=7,4899999:
7,4899999-7,489=0,0009999,
portanto
\text{erro absoluto}(e^{\prime})=0,0009999.
Para e^{\prime\prime}=7,48999:
7,48999-7,489=0,00099,
portanto
\text{erro absoluto}(e^{\prime\prime})=0,00099.
Para e^{\prime\prime\prime}=7,49109:
7,49109-7,489=0,00209,
portanto
\text{erro absoluto}(e^{\prime\prime\prime})=0,00209.
Para e^{IV}=7,48019:
7,48019-7,489=-0,00881,
portanto
\text{erro absoluto}(e^{IV})=0,00881.

Passo 4

Agora comparo os valores dos erros absolutos que acabei de obter:
\text{erro absoluto}(e^{\prime})=0,0009999,
\text{erro absoluto}(e^{\prime\prime})=0,00099,
\text{erro absoluto}(e^{\prime\prime\prime})=0,00209,
\text{erro absoluto}(e^{IV})=0,00881.
O menor desses é 0,00099 (pertence a e^{\prime\prime}). Portanto e^{\prime\prime} é o mais próximo do valor exato em termos absolutos.

Passo 5

Para reforçar, calculo os erros relativos (mostra que a conclusão não muda):
\text{erro relativo}(e^{\prime})=\frac{0,0009999}{7,489}\approx0,0001336,
\text{erro relativo}(e^{\prime\prime})=\frac{0,00099}{7,489}\approx0,0001322,
\text{erro relativo}(e^{\prime\prime\prime})=\frac{0,00209}{7,489}\approx0,0002792,
\text{erro relativo}(e^{IV})=\frac{0,00881}{7,489}\approx0,001177.
Novamente o menor erro relativo é de e^{\prime\prime}, o que confirma que e^{\prime\prime} é o melhor resultado.

Passo 6

Comentário didático-final (resumo e interpretação): ter mais casas decimais não garante que a medida seja melhor. Veja e^{\prime}=7,4899999 tem mais dígitos que e^{\prime\prime}=7,48999 mas é ligeiramente mais distante do valor exato (erro absoluto 0,0009999 contra 0,00099). O que importa para escolher o “melhor” resultado (quando sabemos o valor exato) é a menor diferença absoluta (ou relativa). Portanto a escolha é por e^{\prime\prime}.

Resposta

e^{\prime\prime}=7,48999

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