A equação x cdot e^x^2-2 x=0, possui três soluções: x=0, uma positiva e outra negativa. Dito isto, pedese:
a) (1,0 ponto) Os intervalos nos quais se encontram essas soluções diferentes de zero.
b) (1,5 ponto) A solução positiva usando o método da bisseção.
c) (1,5 pontos A solução negativa usando o método da falsa posição.
d) (1,5 ponto) Utilizando g(x)=2 xe^x^2 aplique o método do ponto fixo para obter a solução positiva, começando em x0=0,5.
Faça 5 iterações na aplicação dos métodos.

Passo 1

Beleza, a questão fala da equação
x,e^x^2 - 2x = 0
e diz que as raízes são x=0, uma positiva e outra negativa (essas duas vêm de e^x^2=2implies x=pmraizln2).
Conteúdo: métodos numéricos para achar raízes de uma função.
Precisamos de:
1) localizar intervalos onde a função muda de sinal (parte a),
2) aplicar o método da bisseção na positiva (b),
3) aplicar o método da falsa posição na negativa ©,
4) usar iteração de ponto fixo com g(x)=2xe^x^2 na positiva (d).
A partir do próximo passo começamos a resolver.

Passo 2

Parte (a): achar intervalos que contenham cada raiz (menos a x=0).
Definimos
f(x)=x,e^x^2-2x = xl(e^x^2-2r)
- Para a raiz positiva, testamos f(0.5) e f(1):
f(0.5)approx0.5(e^0.25-2)approx0.5(1.284-2)=-0.358(<0),
f(1)=1(e^1-2)=2.718-2=+0.718(>0)
Como há troca de sinal em [0.5,1], a raiz positiva está aí.
- Para a raiz negativa, testamos f(-1) e f(-0.5):
f(-1)=-1(e^1-2)=-2.718+2=-0.718(<0),
f(-0.5)=-0.5(e^0.25-2)=-0.5(1.284-2)=+0.358(>0)
Então há troca de sinal em [-1,-0.5] e a raiz negativa está nesse intervalo.

Passo 3

Parte (b): método da bisseção na positiva em [a,b]=[0.5,1], 5 iterações.
Regra: a cada iteração, m=(a+b)/2; calculamos f(m) e mantemos o subintervalo onde há mudança de sinal.
  1. m1=0.75, f(m1)approx-0.184 (<0),Rightarrow,[0.75,1]
  2. m2=0.875, f(m2)approx+0.132 (>0),Rightarrow,[0.75,0.875]
  3. m3=0.8125, f(m3)approx-0.053 (<0),Rightarrow,[0.8125,0.875]
  4. m4=0.84375, f(m4)approx+0.033 (>0),Rightarrow,[0.8125,0.84375]
  5. m5=0.828125, f(m5)approx-0.014 (<0),Rightarrow,[0.828125,0.84375]
    Aproximação após 5 iterações: xapprox0.828125.

Passo 4

Parte ©: método da falsa posição na negativa em [a,b]=[-1,-0.5], 5 iterações.
Regra:
xnew = b - f(b),b-af(b)-f(a)
1) x1approx-0.6664, f(x1)approx+0.294 Rightarrow [-1,-0.6664]
2) x2approx-0.7634, f(x2)approx+0.1597 Rightarrow [-1,-0.7634]
3) x3approx-0.8064, f(x3)approx+0.0677 Rightarrow [-1,-0.8064]
4) x4approx-0.8231, f(x4)approx+0.0256 Rightarrow [-1,-0.8231]
5) x5approx-0.8292, f(x5)approx+0.0086 Rightarrow [-1,-0.8292]
Aproximação após 5 iterações: xapprox-0.8292.

Passo 5

Parte (d): método do ponto fixo com
g(x)=2xe^x^2, xn+1=g(xn), x0=0.5
Basta iterar 5 vezes:
1) x1=2cdot0.5e^0.25approx0.7788
2) x2=2cdot0.7788e^0.7788^2approx0.8492
3) x3=2cdot0.8492e^0.8492^2approx0.8256
4) x4=2cdot0.8256e^0.8256^2approx0.8354
5) x5=2cdot0.8354e^0.8354^2approx0.8304

Resposta

a) A raiz positiva está em [0.5,1] e a negativa em [-1,-0.5].
b) Bisseção (5 it.): xapprox0.828125.
c) Falsa posição (5 it.): xapprox-0.8292.
d) Ponto fixo (5 it.): xapprox0.8304.

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