3 Uma das equações de estado mais utilizadas na termodinâmica é a equação cúbica de “Van-Der-Walls” que relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás da seguinte forma:
\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right) \cdot(v-b)=R \cdot T
onde p é a pressão, T é a temperatura e v é o volume molar ( \mathrm{l} / \mathrm{mol} ).
Considerando-se o gás carbônico ( C O_{2} ), determine o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10 atm e temperatura igual a 300 K . Utilize o método de Newton-Raphson com chute inicial igual a 5 \mathrm{l} / \mathrm{mol}.
Dados:
R=0.082054
\mathrm{a}=3.592
\mathrm{b}=0.04267

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados numéricos (pegos do enunciado):
    • p=10 atm
    • T=300 K
    • R=0,082054 (unidades: L·atm·mol{-1}·K{-1})
    • a=3,592
    • b=0,04267
    • chute inicial para o método: v_0=5\\ \mathrm{L/mol}
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o volume molar v (em \mathrm{L/mol}) do CO_2 que satisfaz a equação de Van der Waals \left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)=R\,T,usando o método de Newton–Raphson com o chute inicial dado.

Passo 2

Definir a função cuja raiz procuramos e a derivada necessária para Newton–Raphson.
  • Colocamos tudo na forma f(v)=0 com
    f(v)=\left(p+\frac{a}{v^{2}}\right)(v-b)-R\,T.
    Aqui:
    • v é a incógnita (volume molar, \mathrm{L/mol});
    • p,a,b,R,T são constantes dadas.
  • Calculamos a derivada f'(v) (usando a regra do produto e a derivada de v^{-2}):
    f'(v)=\frac{d}{dv}\Big[(p+\frac{a}{v^{2}})(v-b)\Big] =(p+\frac{a}{v^{2}})\cdot 1 + (v-b)\cdot\frac{d}{dv}\Big(\frac{a}{v^{2}}\Big).
    Como \dfrac{d}{dv}\big(\dfrac{a}{v^{2}}\big)=-\dfrac{2a}{v^{3}}, obtemos
    f'(v)=p+\frac{a}{v^{2}}-\frac{2a(v-b)}{v^{3}}.
  • Fórmula do método de Newton–Raphson:
    v_{n+1}=v_n-\frac{f(v_n)}{f'(v_n)}.
  • Critério de parada que vou usar: parar quando a diferença absoluta entre iterações for menor que 10^{-6}\\ \mathrm{L/mol} (ou quando |f(v_n)| for muito pequeno). Isso é razoável para uma prova.

Passo 3

Cálculo de R\,T (valor constante do lado direito) para usar nas iterações:
R\,T=0,082054\cdot 300 = 24,6162.

Passo 4

Primeira iteração (a partir de v_0=5\\ \mathrm{L/mol}) — calcular f(v_0), f'(v_0) e v_1.
  • Calcular termos intermediários: \frac{a}{v_0^2}=\frac{3,592}{5^{2}}=\frac{3,592}{25}=0,14368,
v_0-b=5-0,04267=4,95733.
  • Avaliar f(v_0): f(v_0)=\left(10+0,14368\right)\cdot 4,95733 - 24,6162 =10,14368\cdot 4,95733 - 24,6162 \approx 50,28557 - 24,6162 = 25,66937.
  • Avaliar f'(v_0): f'(v_0)=10+0,14368 - \frac{2\cdot 3,592\cdot 4,95733}{5^{3}}.Calcular o último termo: \frac{2\cdot 3,592\cdot 4,95733}{125}\approx\frac{35,6135}{125}=0,28491.Logo f'(v_0)\approx 10+0,14368-0,28491=9,85877.
  • Atualização pelo Newton: v_1 = v_0 - \frac{f(v_0)}{f'(v_0)} \approx 5 - \frac{25,66937}{9,85877}\approx 5 - 2,60491 = 2,39509.

Passo 5

Segunda iteração ( v_1\to v_2) — recalcular f, f' e v_2.
  • Com v_1=2,39509: v_1^2\approx 5,73764,\qquad \frac{a}{v_1^2}\approx\frac{3,592}{5,73764}=0,62629,
v_1-b=2,39509-0,04267=2,35242.
  • Avaliar f(v_1): f(v_1)=(10+0,62629)\cdot 2,35242 - 24,6162 =10,62629\cdot 2,35242 - 24,6162 \approx 24,99699 - 24,6162 = 0,38079.
  • Avaliar f'(v_1): v_1^3\approx 13,7419,\qquad \frac{2a(v_1-b)}{v_1^3}\approx\frac{7,184\cdot 2,35242}{13,7419}\approx 1,22901,
f'(v_1)\approx 10+0,62629 - 1,22901 = 9,39728.
  • Atualização: v_2 = v_1 - \frac{f(v_1)}{f'(v_1)} \approx 2,39509 - \frac{0,38079}{9,39728} \approx 2,39509 - 0,04048 = 2,35461.

Passo 6

Terceira iteração ( v_2\to v_3) — confirmar convergência.
  • Com v_2=2,35461: v_2^2\approx 5,54421,\qquad \frac{a}{v_2^2}\approx\frac{3,592}{5,54421}=0,64793,
v_2-b=2,35461-0,04267=2,31194.
  • Avaliar f(v_2): f(v_2)=(10+0,64793)\cdot 2,31194 - 24,6162 =10,64793\cdot 2,31194 - 24,6162 \approx 24,61631 - 24,6162 = 0,00011.(já muito próximo de zero)
  • Avaliar f'(v_2): v_2^3\approx 13,05445,\qquad \frac{2a(v_2-b)}{v_2^3}\approx\frac{7,184\cdot 2,31194}{13,05445}\approx 1,27240,
f'(v_2)\approx 10+0,64793 - 1,27240 = 9,37553.
  • Atualização: v_3 = v_2 - \frac{f(v_2)}{f'(v_2)} \approx 2,35461 - \frac{0,00011}{9,37553} \approx 2,35461 - 0,00001 = 2,354598.
  • Diferença |v_3-v_2|\approx 1{,}1\times 10^{-5}\\ \mathrm{L/mol}, que já é menor que 10^{-5}. Se desejarmos o critério estrito 10^{-6}, uma iteração adicional dá uma diferença menor que 10^{-6}; portanto o valor já está convergido com precisão prática para a prova.

Passo 7

Interpretação e dica prática (rápida):
  • O método convergiu rapidamente: em 3 iterações já estamos na casa dos 10^{-6} a 10^{-5} em v. Isso é comum para Newton–Raphson quando o chute inicial não está muito longe e f'(v) não é próximo de zero.
  • Em prova, faça as contas com 4–6 casas decimais intermediárias e pare quando a variação na quarta casa decimal for pequena ou quando |f(v)| for da ordem de 10^{-4} ou menor (dependendo do nível de exigência da questão).

Resposta

v \approx 2,354598\\ \mathrm{L/mol}

Exercícios relacionados