3 Uma das equações de estado mais utilizadas na termodinâmica é a equação cúbica de “Van-Der-Walls” que relaciona o volume, pressão e temperatura de um certo gás da seguinte forma:
onde
é a pressão,
é a temperatura e
é o volume molar (
).
Considerando-se o gás carbônico (
), determine o seu volume molar para as condições de pressão igual a 10 atm e temperatura igual a 300 K . Utilize o método de Newton-Raphson com chute inicial igual a
.
Dados:
R=0.082054
Considerando-se o gás carbônico (
R=0.082054
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados numéricos (pegos do enunciado):
-
atm -
K -
(unidades: L·atm·mol{-1}·K{-1}) -
-
- chute inicial para o método:
-
-
O que o enunciado pede:
- Determinar o volume molar
(em ) do que satisfaz a equação de Van der Waals usando o método de Newton–Raphson com o chute inicial dado.
- Determinar o volume molar
Passo 2
Definir a função cuja raiz procuramos e a derivada necessária para Newton–Raphson.
-
Colocamos tudo na forma
com Aqui:-
é a incógnita (volume molar, ); -
são constantes dadas.
-
-
Calculamos a derivada
(usando a regra do produto e a derivada de ): Como, obtemos -
Fórmula do método de Newton–Raphson:
-
Critério de parada que vou usar: parar quando a diferença absoluta entre iterações for menor que
(ou quando for muito pequeno). Isso é razoável para uma prova.
Passo 3
Cálculo de
(valor constante do lado direito) para usar nas iterações:
Passo 4
Primeira iteração (a partir de
) — calcular
,
e
.
- Calcular termos intermediários:
- Avaliar
: - Avaliar
: Calcular o último termo: Logo - Atualização pelo Newton:
Passo 5
Segunda iteração (
) — recalcular
,
e
.
- Com
:
- Avaliar
: - Avaliar
:
- Atualização:
Passo 6
Terceira iteração (
) — confirmar convergência.
- Com
:
- Avaliar
: (já muito próximo de zero) - Avaliar
:
- Atualização:
- Diferença
, que já é menor que . Se desejarmos o critério estrito , uma iteração adicional dá uma diferença menor que ; portanto o valor já está convergido com precisão prática para a prova.
Passo 7
Interpretação e dica prática (rápida):
- O método convergiu rapidamente: em 3 iterações já estamos na casa dos
a em . Isso é comum para Newton–Raphson quando o chute inicial não está muito longe e não é próximo de zero. - Em prova, faça as contas com 4–6 casas decimais intermediárias e pare quando a variação na quarta casa decimal for pequena ou quando
for da ordem de ou menor (dependendo do nível de exigência da questão).