(Índia-Adaptada) Se
e
são as três raízes da equação
. Sabendo que
, então calcule o valor da expressão
.
A) 8
B) 7
A) 8
B) 7
Passo 1
O enunciado nos dá a equação cúbica cujas raízes são
:
Define-se
e pede-se calcular o valor da expressão
Informações relevantes fornecidas:
- As três quantidades
são todas as raízes da cúbica acima. - A cúbica está na forma padrão
, onde , e . Esses somatórios simétricos podem ser extraídos dos coeficientes da equação dada.
Passo 2
Transformação útil da soma para facilitar o uso das somas simétricas.
Observação algébrica simples:
Explicação: escrever
em denominador comum dá
, que é justamente
.
Aplicando isso a cada raiz, obtemos
Logo
Definimos
para que
. Nosso próximo passo é calcular
em termos dos coeficientes da cúbica.
Passo 3
Expressar
usando produtos envolvendo
.
Usando identidade de somas de reciprócos:
Agora expandimos numerador e denominador em função de somas simétricas
, onde
Cálculo do denominador:
Cálculo do numerador (somando as três parcelas):
Cada termo é . Somando:
Cada termo é
Portanto
Passo 4
Extrair
da cúbica dada.
A cúbica é
que, comparando com
, fornece
Substituindo em
:
Logo
Simplificando o sinal:
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por
):
Passo 5
Calcular
a partir de
e simplificar a expressão pedida.
Temos
. Substituindo
:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Agora a expressão solicitada:
Resposta
8