(Índia-Adaptada) Se \mathbf{a}, \mathbf{b} e \mathbf{c} são as três raízes da equação x^{3}-(2+\sqrt{2}) x-2=0. Sabendo que M=\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}, então calcule o valor da expressão \frac{7 \mathrm{M}+31}{\sqrt{2}}.
A) 8
B) 7

Passo 1

O enunciado nos dá a equação cúbica cujas raízes são \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}:
x^{3}-(2+\sqrt{2})x-2=0.
Define-se
M=\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}
e pede-se calcular o valor da expressão
\frac{7M+31}{\sqrt{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As três quantidades a,b,c são todas as raízes da cúbica acima.
  • A cúbica está na forma padrão x^{3}-s_{1}x^{2}+s_{2}x-s_{3}=0, onde s_{1}=a+b+c, s_{2}=ab+ac+bc e s_{3}=abc. Esses somatórios simétricos podem ser extraídos dos coeficientes da equação dada.

Passo 2

Transformação útil da soma para facilitar o uso das somas simétricas.
Observação algébrica simples:
\frac{1+x}{1-x} = -1 + \frac{2}{1-x}.
Explicação: escrever -1+\dfrac{2}{1-x} em denominador comum dá \dfrac{-(1-x)+2}{1-x}=\dfrac{x+1}{1-x}, que é justamente \dfrac{1+x}{1-x}.
Aplicando isso a cada raiz, obtemos
M = \sum_{r\in\{a,b,c\}}\frac{1+r}{1-r} = \sum_{r}\left(-1+\frac{2}{1-r}\right).
Logo
M = -3 + 2\sum_{r}\frac{1}{1-r}.
Definimos
S=\sum_{r\in\{a,b,c\}}\frac{1}{1-r},
para que M=-3+2S. Nosso próximo passo é calcular S em termos dos coeficientes da cúbica.

Passo 3

Expressar S usando produtos envolvendo (1-a),(1-b),(1-c).
Usando identidade de somas de reciprócos:
S=\frac{(1-b)(1-c)+(1-a)(1-c)+(1-a)(1-b)}{(1-a)(1-b)(1-c)}.
Agora expandimos numerador e denominador em função de somas simétricas s_{1},s_{2},s_{3}, onde
s_{1}=a+b+c,\qquad s_{2}=ab+ac+bc,\qquad s_{3}=abc.
Cálculo do denominador:
(1-a)(1-b)(1-c)=1 - s_{1} + s_{2} - s_{3}.
Cálculo do numerador (somando as três parcelas):
Cada termo é 1-(\text{soma de dois})+(\text{produto dos dois}). Somando:
(1-b)(1-c)+(1-a)(1-c)+(1-a)(1-b) =3-2s_{1}+s_{2}.
Portanto
S=\frac{3-2s_{1}+s_{2}}{\,1 - s_{1} + s_{2} - s_{3}\,}.

Passo 4

Extrair s_{1},s_{2},s_{3} da cúbica dada.
A cúbica é
x^{3}-(2+\sqrt{2})x-2=0,
que, comparando com x^{3}-s_{1}x^{2}+s_{2}x-s_{3}=0, fornece
s_{1}=0,\qquad s_{2}=-(2+\sqrt{2}),\qquad s_{3}=2.
Substituindo em S:
\text{numerador }=3-2s_{1}+s_{2}=3-0+(-(2+\sqrt{2}))=1-\sqrt{2}.
\text{denominador }=1-s_{1}+s_{2}-s_{3}=1-0-(2+\sqrt{2})-2=-3-\sqrt{2}.
Logo
S=\frac{1-\sqrt{2}}{-3-\sqrt{2}}.
Simplificando o sinal:
S=\frac{\sqrt{2}-1}{3+\sqrt{2}}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por 3-\sqrt{2}):
S=\frac{(\sqrt{2}-1)(3-\sqrt{2})}{7}=\frac{4\sqrt{2}-5}{7}.

Passo 5

Calcular M a partir de S e simplificar a expressão pedida.
Temos M=-3+2S. Substituindo S:
M=-3+2\cdot\frac{4\sqrt{2}-5}{7}=-3+\frac{8\sqrt{2}-10}{7}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
M=\frac{-21+8\sqrt{2}-10}{7}=\frac{8\sqrt{2}-31}{7}.
Agora a expressão solicitada:
\frac{7M+31}{\sqrt{2}}=\frac{7\cdot\frac{8\sqrt{2}-31}{7}+31}{\sqrt{2}} =\frac{8\sqrt{2}-31+31}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=8.

Resposta

8

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