(IMTS-Adaptada) Seja f(x)=3 x^{3}-5 x^{2}+2 x-6. Se \alpha, \beta e \gamma são as três raízes de f(x), então o valor da expressão, \frac{1}{(\alpha-2)^{2}}+\frac{1}{(\beta-2)^{2}}+\frac{1}{(\gamma-2)^{2}} é igual a:
A) 54
B) 56
C) 64
D) 68
E) 72

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial f(x)=3x^{3}-5x^{2}+2x-6 e diz que \alpha,\beta,\gamma são as três raízes de f(x). Pede-se calcular a expressão
\frac{1}{(\alpha-2)^{2}}+\frac{1}{(\beta-2)^{2}}+\frac{1}{(\gamma-2)^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os coeficientes do polinômio f(x) são 3 (para x^{3}), -5 (para x^{2}), 2 (para x) e -6 (constante).
  • As raízes são \alpha,\beta,\gamma.
  • A expressão envolve \alpha-2,\beta-2,\gamma-2, ou seja, deslocamentos das raízes em relação a 2.

Passo 2

Ideia útil (sem ainda resolver): como a soma envolve \alpha-2 etc., é conveniente definir novas variáveis que sejam exatamente essas diferenças. Defina
u=\alpha-2,\qquad v=\beta-2,\qquad w=\gamma-2.
Então queremos calcular
\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{v^{2}}+\frac{1}{w^{2}}.
As variáveis u,v,w são as raízes do polinômio obtido substituindo x=t+2 em f, isto é, do polinômio g(t)=f(t+2). A próxima etapa é calcular g(t) explicitamente.

Passo 3

Calculando g(t)=f(t+2). Expande-se passo a passo:
(t+2)^{3}=t^{3}+6t^{2}+12t+8,
portanto
3(t+2)^{3}=3t^{3}+18t^{2}+36t+24.
Também
-5(t+2)^{2}=-5(t^{2}+4t+4)=-5t^{2}-20t-20,
e
2(t+2)=2t+4.
Somando tudo e subtraindo 6:
g(t)=3t^{3}+18t^{2}+36t+24 \;+\;(-5t^{2}-20t-20)\;+\;(2t+4)\;-\;6.
Agrupando coeficientes:
g(t)=3t^{3}+(18-5)t^{2}+(36-20+2)t+(24-20+4-6).
Logo
g(t)=3t^{3}+13t^{2}+18t+2.
Portanto u,v,w são as raízes de g(t)=3t^{3}+13t^{2}+18t+2.

Passo 4

Lembrete (fórmula de Viète) para cubic: se um polinômio é
a t^{3}+b t^{2}+c t+d
e suas raízes são u,v,w, então as somas simétricas são
u+v+w = -\frac{b}{a},
uv+uw+vw = \frac{c}{a},
uvw = -\frac{d}{a}.
Explicação rápida do porquê: escrever a(t-u)(t-v)(t-w)=a(t^{3}-(u+v+w)t^{2}+(uv+uw+vw)t-uvw) e comparar coeficientes com a t^{3}+b t^{2}+c t+d.

Passo 5

Aplicando Viète ao polinômio g(t)=3t^{3}+13t^{2}+18t+2:
s_{1}:=u+v+w = -\frac{13}{3},
s_{2}:=uv+uw+vw = \frac{18}{3}=6,
s_{3}:=uvw = -\frac{2}{3}.

Passo 6

Agora vamos obter uma expressão que permita calcular
\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{v^{2}}+\frac{1}{w^{2}}
usando as somas simétricas s_{1},s_{2},s_{3}.
Começamos escrevendo em termos de produtos:
\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{v^{2}}+\frac{1}{w^{2}} =\frac{(vw)^{2}+(uw)^{2}+(uv)^{2}}{(uvw)^{2}}.
Agora expressar o numerador por s_{1},s_{2},s_{3}. Note que
(uv)^{2}+(uw)^{2}+(vw)^{2} = (uv+uw+vw)^{2} - 2\big(uv\cdot uw + uv\cdot vw + uw\cdot vw\big).
Mas
uv\cdot uw = u^{2}vw = u\cdot(uvw)=u s_{3},
e somando os três termos semelhantes obtemos
uv\cdot uw + uv\cdot vw + uw\cdot vw = s_{3}(u+v+w)=s_{3}s_{1}.
Logo
(uv)^{2}+(uw)^{2}+(vw)^{2} = s_{2}^{2} - 2 s_{1}s_{3}.
Portanto
\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{v^{2}}+\frac{1}{w^{2}} = \frac{s_{2}^{2} - 2 s_{1}s_{3}}{s_{3}^{2}}.

Passo 7

Substituindo os valores encontrados de s_{1},s_{2},s_{3}:
s_{2}^{2} = 6^{2}=36,
2 s_{1}s_{3} = 2\cdot\left(-\frac{13}{3}\right)\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=2\cdot\frac{26}{9}=\frac{52}{9},
então o numerador é
s_{2}^{2}-2s_{1}s_{3}=36-\frac{52}{9}=\frac{324-52}{9}=\frac{272}{9}.
O denominador é
s_{3}^{2}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}.
Assim
\frac{1}{u^{2}}+\frac{1}{v^{2}}+\frac{1}{w^{2}} = \frac{\tfrac{272}{9}}{\tfrac{4}{9}}=\frac{272}{4}=68.

Resposta

68

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