(IMTS-Adaptada) Seja
. Se
e
são as três raízes de
, então o valor da expressão,
é igual a:
A) 54
B) 56
C) 64
D) 68
E) 72
A) 54
B) 56
C) 64
D) 68
E) 72
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e diz que
são as três raízes de
. Pede-se calcular a expressão
Informações relevantes fornecidas:
- Os coeficientes do polinômio
são (para ), (para ), (para ) e (constante). - As raízes são
. - A expressão envolve
, ou seja, deslocamentos das raízes em relação a .
Passo 2
Ideia útil (sem ainda resolver): como a soma envolve
etc., é conveniente definir novas variáveis que sejam exatamente essas diferenças. Defina
Então queremos calcular
As variáveis
são as raízes do polinômio obtido substituindo
em
, isto é, do polinômio
. A próxima etapa é calcular
explicitamente.
Passo 3
Calculando
. Expande-se passo a passo:
portanto
Também
e
Somando tudo e subtraindo 6:
Agrupando coeficientes:
Logo
Portanto
são as raízes de
.
Passo 4
Lembrete (fórmula de Viète) para cubic: se um polinômio é
e suas raízes são
, então as somas simétricas são
Explicação rápida do porquê: escrever
e comparar coeficientes com
.
Passo 5
Aplicando Viète ao polinômio
:
Passo 6
Agora vamos obter uma expressão que permita calcular
usando as somas simétricas
.
Começamos escrevendo em termos de produtos:
Agora expressar o numerador por
. Note que
Mas
e somando os três termos semelhantes obtemos
Logo
Portanto
Passo 7
Substituindo os valores encontrados de
:
então o numerador é
O denominador é
Assim
Resposta
68