Resolva as integrais a baixo utilizando a fórmula da Quadratura Gaussiana, com 3 pontos:
integral-2^3 2 x^2-x d x

Passo 1

Então, cara, o exercício pede pra gente aproximar a integral
integral-2^3 l(2x^2 - xr),dx
usando a Quadratura Gaussiana de 3 pontos. Isso faz parte de Métodos Numéricos (mais precisamente da fórmula de Gauss–Legendre).
O que a gente vai precisar:
  1. Fazer a mudança de variável de para .
  2. Saber os nós e pesos da regra de 3 pontos.
  3. Avaliar a nossa função nesses pontos transformados.
  4. Montar a soma .

Passo 2

Primeiro, a mudança de variável padrão é
x = a+b2 + b-a2,t, dx = b-a2,dt,
onde aqui x = -2+32 + 3-(-2)2,t = 12 + 52,t, dx = 52,dt e integral-2^3 (2x^2 - x),dx = 52integral-1^1 l(2x(t)^2 - x(t)r),dt .
Então
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Passo 3

Na regra de Gauss–Legendre de 3 pontos (no intervalo t1 = 0,; w1 = tfrac89; t2,3 = pmraiztfrac35,; w2,3 = tfrac59 ) os nós e pesos são

Passo 4

Agora a gente calcula x1 = tfrac12 + tfrac52cdot 0 = tfrac12, x2,3 = tfrac12 pm tfrac52raiztfrac35 = tfrac12 pm tfracraiz152 = 1pmraiz152 :

Passo 5

Agora avalia f(x1) = 2l(tfrac12r)^2 - tfrac12 = 2cdottfrac14 - tfrac12 = tfrac12 - tfrac12 = 0 em cada f(x2) =2l(tfrac1+raiz152r)^2 -tfrac1+raiz152 =15+raiz152 :
  1. Em f(x3) =2l(tfrac1-raiz152r)^2 -tfrac1-raiz152 =15-raiz152 :
f(x2)+f(x3) =15+raiz152+15-raiz152 =15
  1. Em :
  1. Em :
Repara que

Passo 6

Agora monta a soma da Quadratura:
integral-2^3(2x^2 - x),dx approx 52l[w1f(x1)+w2f(x2)+w3f(x3)r] =52l[tfrac89cdot0 + tfrac59l(f(x2)+f(x3)r)r]
Substituindo 52cdot 59cdot 15 = 52cdot 759 = 52cdot 253 = 1256 :

Resposta

boxed1256approx 20,8333

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