Esboce a imagem das seguintes curvas.
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente “esboçar” (ou seja, desenhar grosso modo) a curva dada por
Isso é um exercício de curvas paramétricas no plano. Para resolver, a ideia é perceber que esse par
lembra coordenadas polares:
e
. Aqui, dá pra identificar
e
. Vamos usar essa conversão e analisar como
e
mudam conforme
.
Passo 2
Converter para polares e entender a teoria
- Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é dado por
- No nosso caso, comparamos isso com
Logo: - Teoria rápida: sempre que
depende de (aqui ), a curva é um espiral logarítmico. Em vez de crescer linearmente (como na spir. de Arquimedes), aqui o raio cresce exponencialmente com o ângulo.
Passo 3
Analisar o comportamento de
e
- Conforme
, . Isso significa que o ponto vai indo em direção à origem. - Conforme
aumenta, cresce rápido: em , ; em , ; em , , e por aí vai. - O ângulo no mesmo passo é
, ou seja, o ponto gira em torno da origem à medida que cresce, um giro de 1 radiano por unidade de .
Juntando tudo, a curva dá voltas em espiral, cada volta com raio maior exponencialmente.
Passo 4
Esboçando a curva
- Desenha alguns pontos chave:
- Para
: , ângulo rad . Perto da origem, no 3º quadrante. - Para
: , ângulo 0. Ponto . - Para
: , ângulo . Ponto em cima, bem mais distante. - Para
: , ângulo . Muito longe no lado esquerdo.
- Para
- Liga esses pontos numa curva suave que dá voltas em sentido anti-horário, afastando-se rápido da origem.
Resposta
A curva
é um espiral logarítmico de equação polar
Ela parte quase da origem quando
e, à medida que
aumenta, gira em torno da origem e seu raio cresce exponencialmente, formando um esboço de espiral que se afasta cada vez mais.