Esboce a imagem das seguintes curvas.
.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente “esboçar” (ou seja, desenhar grosso modo) a curva dada por
r(t) = l(e^tcos t,;e^tsin tr)
Isso é um exercício de curvas paramétricas no plano. Para resolver, a ideia é perceber que esse par lembra coordenadas polares: e . Aqui, dá pra identificar e . Vamos usar essa conversão e analisar como e mudam conforme .

Passo 2

Converter para polares e entender a teoria
  1. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é dado por x = rcostheta, y = rsintheta
  2. No nosso caso, comparamos isso com x(t)=e^tcos t, y(t)=e^tsin t Logo: r(t)=e^t, theta(t)=t
  3. Teoria rápida: sempre que depende de (aqui ), a curva é um espiral logarítmico. Em vez de crescer linearmente (como na spir. de Arquimedes), aqui o raio cresce exponencialmente com o ângulo.

Passo 3

Analisar o comportamento de e
  1. Conforme , . Isso significa que o ponto vai indo em direção à origem.
  2. Conforme aumenta, cresce rápido: em , ; em , ; em , , e por aí vai.
  3. O ângulo no mesmo passo é , ou seja, o ponto gira em torno da origem à medida que cresce, um giro de 1 radiano por unidade de .
Juntando tudo, a curva dá voltas em espiral, cada volta com raio maior exponencialmente.

Passo 4

Esboçando a curva
  1. Desenha alguns pontos chave:
    • Para : , ângulo rad . Perto da origem, no 3º quadrante.
    • Para : , ângulo 0. Ponto .
    • Para : , ângulo . Ponto em cima, bem mais distante.
    • Para : , ângulo . Muito longe no lado esquerdo.
  2. Liga esses pontos numa curva suave que dá voltas em sentido anti-horário, afastando-se rápido da origem.

Resposta

A curva r=e^theta é um espiral logarítmico de equação polar
Ela parte quase da origem quando e, à medida que aumenta, gira em torno da origem e seu raio cresce exponencialmente, formando um esboço de espiral que se afasta cada vez mais.

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