Esboce a imagem das seguintes curvas.
f(t)=(2 cos (t), 4 sin (t)).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente “esboçar a imagem” da curva
vec f(t) = l(2cos t,;4sin tr)
Isso cai em “curvas paramétricas” e, mais especificamente, na ideia de reconhecer uma elipse a partir de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade básica

e eliminar o pra descobrir a equação em e .

Passo 2

Anota aí: se
x = 2cos t e y = 4sin t,
a gente quer escrever algo só com cos t = x2, sin t = y4 e . Para isso, isola e :

Passo 3

Agora aplico a identidade l(tfracx2r)^2 + l(tfracy4r)^2 = 1 :
Olha só, isso é exatamente a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo horizontal e semi-eixo vertical .

Passo 4

Pra desenhar, basta marcar os pontos extremos:
  • :
  • :
  • :
  • :
    E conectar tudo com uma curva suave, no sentido anti-horário à medida que vai de a .

Resposta

A imagem da curva é a elipse de equação
x^22^2 + y^24^2 = 1,
com semi-eixos de comprimentos (eixo ) e (eixo ), percorrida no sentido anti-horário.

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