Esboce a imagem das seguintes curvas.
.
Passo 1
O enunciado pede para “esboçar” a curva
que é um exemplo clássico de curva no espaço
.
Conteúdo: curvas paramétricas em , projeção em planos e reconhecimento de formas (neste caso, círculo e hélice).
O que precisamos:
Conteúdo: curvas paramétricas em
O que precisamos:
- Entender cada componente
. - Verificar que
forma um círculo. - Entender que
faz esse círculo “andar” no espaço, gerando uma hélice.
Passo 2
Vamos olhar componente a componente:
-
cresce sem parar conforme varia. -
e .
Agora, do que lembramos de trigonometria? Que para qualquer
vale
Isso significa que, se eu olhar só a projeção da curva no plano
, ou seja, o par
, ele está percorrendo a circunferência de raio 1 centrada na origem desse plano.
Passo 3
Mais claramente:
- No plano
, o ponto roda ao redor da origem fazendo um círculo unitário. - No eixo
, o valor simplesmente “empurra” esse ponto para a direita (se aumenta) ou para a esquerda (se diminui).
Na prática, à medida que
cresce, o círculo no plano
vai se deslocando ao longo do eixo
. Isso já está cheirando a hélice!
Passo 4
Teoria da hélice:
Uma hélice circular é uma curva definida por
Uma hélice circular é uma curva definida por
onde
é o raio e
controla a “espiral” ao longo do eixo. No nosso caso:
- Vamos trocar eixos para encaixar a forma padrão? Na nossa curva,
e . - Isso é exatamente uma hélice de raio
ao redor do eixo , com passo (distância entre voltas) igual a no eixo .
Resposta
A imagem de
é uma hélice circular de raio
em torno do eixo
, que dá uma volta completa no plano
a cada incremento de
em
.