Esboce a imagem das seguintes curvas.
gamma(t)=(t, cos (t), sin (t)).

Passo 1

O enunciado pede para “esboçar” a curva
gamma(t) = l(t,;cos(t),;sin(t)r),
que é um exemplo clássico de curva no espaço R^3.
Conteúdo: curvas paramétricas em R^3, projeção em planos e reconhecimento de formas (neste caso, círculo e hélice).
O que precisamos:
  • Entender cada componente x(t),y(t),z(t).
  • Verificar que (y(t),z(t)) forma um círculo.
  • Entender que x(t)=t faz esse círculo “andar” no espaço, gerando uma hélice.

Passo 2

Vamos olhar componente a componente:
  • x(t)=t cresce sem parar conforme t varia.
  • y(t)=cos(t) e z(t)=sin(t).
Agora, do que lembramos de trigonometria? Que para qualquer t vale
cos^2(t) + sin^2(t) ;=; 1
Isso significa que, se eu olhar só a projeção da curva no plano yz, ou seja, o par (y(t),z(t)), ele está percorrendo a circunferência de raio 1 centrada na origem desse plano.

Passo 3

Mais claramente:
  • No plano yz, o ponto (cos t,sin t) roda ao redor da origem fazendo um círculo unitário.
  • No eixo x, o valor t simplesmente “empurra” esse ponto para a direita (se t aumenta) ou para a esquerda (se t diminui).
Na prática, à medida que t cresce, o círculo no plano yz vai se deslocando ao longo do eixo x. Isso já está cheirando a hélice!

Passo 4

Teoria da hélice:
Uma hélice circular é uma curva definida por
l(acos(t),;asin(t),;b,tr)
onde a é o raio e b controla a “espiral” ao longo do eixo. No nosso caso:
  • Vamos trocar eixos para encaixar a forma padrão? Na nossa curva, x(t)=t e (y,z)=(cos t,sin t).
  • Isso é exatamente uma hélice de raio 1 ao redor do eixo x, com passo (distância entre voltas) igual a 2pi no eixo x.

Resposta

A imagem de gamma(t)=(t,cos t,sin t) é uma hélice circular de raio 1 em torno do eixo x, que dá uma volta completa no plano yz a cada incremento de 2pi em t.

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