Esboce a imagem das seguintes curvas.
y=ln (x).

Passo 1

Beleza, o enunciado manda “esboçar” o gráfico de
y = ln(x)
Isso cai na matéria de funções logarítmicas. Para desenhar direitinho, a gente vai precisar entender:
  1. o domínio e a imagem;
  2. comportamentos nos extremos (assíntotas);
  3. pontos-chave que ajudam no traçado;
  4. como a curva “anda” (cresce, concavidade etc.).

Passo 2

Primeiro, domínio e imagem.
– Domínio: como só existe para , nosso gráfico só vai estar à direita do eixo (ou seja, ).
– Imagem: o log natural pode assumir qualquer valor real, então .

Passo 3

Agora os comportamentos nos extremos:
– Quando , . Isso revela uma assíntota vertical em .
– Quando , , mas cresce devagar.

Passo 4

Pontos-chave:
, então o gráfico passa em .
, ou seja, em .
– Se quiser um ponto abaixo do eixo , , logo .

Passo 5

Concavidade e traçado:
– A derivada segunda é , então a curva é sempre “para baixo” (concava para baixo).
– Ela cresce (derivada positiva), mas vai ficando cada vez mais “esticada” para cima.
– Temos a assíntota vertical em , e a curva atravessa , sobe passando em e segue subindo devagar.

Resposta

O esboço de é uma curva que:
  1. fica inteirinha à direita de , aproximando-se da reta (assíntota) quando ;
  2. passa por , , ;
  3. cresce indefinidamente para ;
  4. é sempre côncava para baixo.
Visualmente, dá algo assim:
  y
  ↑
3 ┤
2 ┤          • (e,1)
1 ┤     •  
0 ┼────•────────────→ x
-1 ┤ •
-2 ┤
0 1 e
(Remova a “arte ASCII” e desenhe uma curva suave passando por esses pontos e com assíntota em .)

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