Esboce a imagem das seguintes curvas.
.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda “esboçar” o gráfico de
Isso cai na matéria de funções logarítmicas. Para desenhar direitinho, a gente vai precisar entender:
- o domínio e a imagem;
- comportamentos nos extremos (assíntotas);
- pontos-chave que ajudam no traçado;
- como a curva “anda” (cresce, concavidade etc.).
Passo 2
Primeiro, domínio e imagem.
– Domínio: como só existe para
, nosso gráfico só vai estar à direita do eixo
(ou seja,
).
– Imagem: o log natural pode assumir qualquer valor real, então .
– Domínio: como
– Imagem: o log natural pode assumir qualquer valor real, então
Passo 3
Agora os comportamentos nos extremos:
– Quando ,
. Isso revela uma assíntota vertical em
.
– Quando ,
, mas cresce devagar.
– Quando
– Quando
Passo 4
Pontos-chave:
– , então o gráfico passa em
.
– , ou seja, em
.
– Se quiser um ponto abaixo do eixo ,
, logo
.
–
–
– Se quiser um ponto abaixo do eixo
Passo 5
Concavidade e traçado:
– A derivada segunda é , então a curva é sempre “para baixo” (concava para baixo).
– Ela cresce (derivada positiva), mas vai ficando cada vez mais “esticada” para cima.
– Temos a assíntota vertical em , e a curva atravessa
, sobe passando em
e segue subindo devagar.
– A derivada segunda é
– Ela cresce (derivada positiva), mas vai ficando cada vez mais “esticada” para cima.
– Temos a assíntota vertical em
Resposta
O esboço de
é uma curva que:
- fica inteirinha à direita de
, aproximando-se da reta (assíntota) quando ; - passa por
, , ; - cresce indefinidamente para
; - é sempre côncava para baixo.
Visualmente, dá algo assim:
y
↑
3 ┤
2 ┤ • (e,1)
1 ┤ •
0 ┼────•────────────→ x
-1 ┤ •
-2 ┤
0 1 e
-2 ┤
0 1 e
(Remova a “arte ASCII” e desenhe uma curva suave passando por esses pontos e com assíntota em
.)