Obtenha uma parametrização e esboce a imagem das seguintes curvas.
9 x^2+4 y^2=36.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente “Obter uma parametrização e esboçar a imagem” da curva dada por
9x^2 + 4y^2 = 36
Isso é uma elipse (conteúdo de geometria analítica / cônicas). Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Colocar a equação na forma canônica de elipse.
  2. Lembrar que a parametrização padrão de uma elipse x = acos t, y = bsin t, tin[0,2pi] é
  1. Identificar e .
  2. Descrever como fica o esboço (semi-eixos e orientação).

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato canônico. Temos
9x^2 + 4y^2 = 36 Longrightarrow 9x^236 + 4y^236 = 1 Longrightarrow x^24 + y^29 = 1
Aqui a gente dividiu ambos os lados por 36.

Passo 3

Na forma a^2 = 4 implies a = 2, b^2 = 9 implies b = 3 , temos
Isso significa que o semi-eixo horizontal mede 2 e o semi-eixo vertical mede 3.

Passo 4

Sabendo dos valores de x(t) = acos t = 2cos t, y(t) = bsin t = 3sin t, t in [0,2pi] e , usamos a parametrização trigonométrica padrão:
Assim, conforme varia de a , o ponto percorre toda a elipse uma vez, no sentido anti-horário.

Passo 5

Pra esboçar a imagem, basta lembrar:
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .
    Ligando esses pontos suavemente a gente vê a elipse centrada na origem, com semi-eixo maior vertical (3) e menor horizontal (2).

Resposta

Parametrização:
boxedx(t) = 2cos t, y(t) = 3sin t, tin[0,2pi]
Esboço: elipse centrada na origem, eixo horizontal de comprimento 4 (±2) e eixo vertical de comprimento 6 (±3).

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