Esboce a imagem das seguintes curvas.
gamma(t)=(2 cos (t), 2 sin (t), 4).

Passo 1

Beleza, resumo rapidinho: a curva é
.
Matéria: curvas paramétricas em , especialmente como reconhecer e desenhar um círculo.
O que a gente vai usar:
  • Sabendo que e formam um círculo de raio 2 no plano .
  • Que é constante, então a curva vive num plano paralelo ao plano em .

Passo 2

Vamos traduzir para a forma cartesiana.
Para qualquer x(t)=2cos t, y(t)=2sin t,
x(t)^2 + y(t)^2 = (2cos t)^2 + (2sin t)^2 = 4(cos^2t + sin^2t) = 4
então
x^2 + y^2 = 4, z = 4
E como sempre, a curva satisfaz
Isso é exatamente a equação de um círculo de raio no plano .

Passo 3

Agora, pra esboçar, escolhe os pontos-chave ao longo de uma volta :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • : volta a .
    Ligando esses pontos suavemente, você vê o círculo. E a curva anda no sentido anti-horário quando vista de cima (projeção no plano ).

Passo 4

Pra desenhar no espaço: imagine o plano horizontal cortando o eixo em . Nele, faça um círculo centrado em de raio . Marque os pontos acima e trace uma curva fechada e suave.

Resposta

A imagem de é um círculo de raio 2, centrado na origem, contido no plano , percorrido no sentido anti-horário quando visto de cima.

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