Esboce a imagem das seguintes curvas.
x(t)=t e y(t)=t^3.

Passo 1

Resumo da questão:
Escrever o “esboço” (ou desenho qualitativo) da curva dada por
x(t)=t, y(t)=t^3,, tinR
Conteúdo: curva paramétrica e esboço de gráfico.
O que vamos precisar:
- Saber o que é uma curva paramétrica.
- Eliminar o parâmetro para achar uma relação direta entre e .
- Analisar comportamento (tendências, pontos notáveis) para desenhar.

Passo 2

Eliminar o parâmetro:
Como y=t^3;longrightarrow;y=x^3, temos . Substituindo em :

Ou seja, a curva paramétrica é exatamente o gráfico da função .

Passo 3

Analisar a forma de dydx=3x^2>=0forall x:
  1. Derivada primeira: d^2ydx^2=6x
    Isso mostra que a curva é monotonamente crescente (nunca desce).
    2) Derivada segunda:
    • Para , a concavidade é negativa (curva “para baixo”).
    • Para , a concavidade é positiva (curva “para cima”).
    • Em , muda concavidade → ponto de inflexão em .

Passo 4

Pontos e formato geral:
  • Passa pela origem .
  • Em , ; em , .
  • Para , ; para , .
  • Forma típica de cúbica ímpar: “S” espremido, com inflexão no meio.

Resposta

A curva é o gráfico de : uma cúbica que sobe da esquerda para a direita, com ponto de inflexão em e pontos .

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