Obtenha uma parametrização das curvas gamma(t) definidas pela interseção da seguintes superfícies.
x^2+y^2+z^2 & =4 x & =y.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar uma parametrização da curva que é a interseção de duas superfícies em ℝ³:
  1. a esfera
  2. o plano
Conteúdo: parametrização de curvas no espaço; interseção de superfícies; uso de substituição em equações.
O que vamos precisar:
  • Substituir na equação da esfera
  • Reconhecer a forma resultante (uma “elipse” em coordenadas , mas que dentro do plano é um círculo)
  • Escolher uma parametrização trigonométrica simples

Passo 2

Primeiro, jogamos x^2+y^2+z^2=4 Longrightarrow x^2 + x^2 + z^2 =4 Longrightarrow 2x^2 + z^2 =4 na esfera:
Essa é a equação de uma elipse no plano coordenado , mas a curva real vive dentro do plano inclinado .

Passo 3

Para parametrizar x^22 + z^24 =1 , usamos a forma padrão de elipse:
x = raiz2,cos t, z = 2,sin t,
Então podemos escolher
para .
Mas lembre que . Então basta repetir o valor de em .

Passo 4

Juntando tudo, a parametrização fica
gamma(t) = l(x(t),,y(t),,z(t)r) = l(raiz2cos t,;raiz2cos t,;2sin tr), tin[0,2pi)
Isso satisfaz:
  1. — estamos no plano .
  2. .

Resposta

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