Obtenha uma parametrização das curvas
definidas pela interseção da seguintes superfícies.
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente achar uma parametrização da curva que é a interseção de duas superfícies em ℝ³:
- a esfera
- o plano
Conteúdo: parametrização de curvas no espaço; interseção de superfícies; uso de substituição em equações.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Substituir
na equação da esfera - Reconhecer a forma resultante (uma “elipse” em coordenadas
, mas que dentro do plano é um círculo) - Escolher uma parametrização trigonométrica simples
Passo 2
Primeiro, jogamos
na esfera:
Essa é a equação de uma elipse no plano coordenado
, mas a curva real vive dentro do plano inclinado
.
Passo 3
Para parametrizar
, usamos a forma padrão de elipse:
Então podemos escolher
para
.
Mas lembre que
. Então basta repetir o valor de
em
.
Passo 4
Juntando tudo, a parametrização fica
Isso satisfaz:
-
— estamos no plano . -
.