Obtenha uma parametrização e esboce a imagem das seguintes curvas.
(x-1)^2+(y+2)^2=4.

Passo 1

Resumo do que a gente tem: o enunciado pede pra obter uma parametrização e esboçar a imagem da curva
(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4
Matéria envolvida: curvas paramétricas (especificamente, a curva de uma circunferência).
O que a gente vai precisar: reconhecer que essa é a forma canônica de um círculo (centro e raio) e lembrar da fórmula padrão
x(h)+Rcos t, y(k)+Rsin t

Passo 2

Identificar centro e raio. A equação
(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4
já está na forma . Comparando:
  • Centro .
  • Raio .

Passo 3

Teoria da parametrização de círculos:
Para uma circunferência de centro x(t) = h + Rcos t, y(t) = k + Rsin t, tin[0,2pi] e raio , a gente usa
Por que isso funciona? Pense em um círculo trigonométrico de raio 1 (com e ). Se você multiplica por , escala o raio pra , e somando e desloca o centro pra .

Passo 4

Aplicando ao nosso caso ( x(t) = 1 + 2cos t, y(t) = -2 + 2sin t, tin[0,2pi] , , ):

Passo 5

Esboço da imagem:
  • Centro em .
  • Raio .
  • Alguns pontos-chave:
    • : (direita do centro).
    • : (acima).
    • : (esquerda).
    • : (abaixo).
      A curva é um círculo completo, percorrido no sentido anti-horário à medida que vai de a .

Resposta

Uma parametrização conveniente é
boxed x(t) = 1 + 2cos t, y(t) = -2 + 2sin t, tin[0,2pi],
cuja imagem é um círculo de centro e raio , percorrido no sentido anti-horário.

Exercícios relacionados