Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
e
; eixo
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente esboçar a região R limitada pelas curvas
e
, e depois calcular o volume do sólido que se forma ao girar R em torno do eixo
.
Isso é um problema de cálculo de volume por método dos “discos” ou “arruelas” (washers), que usa integrais definidas.
Para resolver vamos precisar de:
Isso é um problema de cálculo de volume por método dos “discos” ou “arruelas” (washers), que usa integrais definidas.
Para resolver vamos precisar de:
- Encontrar os pontos de interseção das duas curvas.
- Identificar qual é a “curva de cima” (raio externo) e a “de baixo” (raio interno).
- Montar a integral
. - Calcular essa integral.
Passo 2
Primeiro, achemos os pontos onde as duas curvas se cruzam:
Então a região R fica entre
e
.
Passo 3
Agora, para cada
entre
e
, a curva de cima é
(maior valor) e a de baixo é
.
Ao girar em torno do eixo , o raio externo é
Ao girar em torno do eixo
e o raio interno é
A fórmula do volume por arruelas é
Passo 4
Vamos montar o integrando:
Então a integral vira
Passo 5
Integramos termo a termo:
Logo,
Avalia em
:
Em
:
Subtraindo:
Multiplicando por
: