Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
y=18-x^2 e y=x^2; eixo x

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente esboçar a região R limitada pelas curvas
e , e depois calcular o volume do sólido que se forma ao girar R em torno do eixo .
Isso é um problema de cálculo de volume por método dos “discos” ou “arruelas” (washers), que usa integrais definidas.
Para resolver vamos precisar de:
  1. Encontrar os pontos de interseção das duas curvas.
  2. Identificar qual é a “curva de cima” (raio externo) e a “de baixo” (raio interno).
  3. Montar a integral .
  4. Calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro, achemos os pontos onde as duas curvas se cruzam:
x^2 ;=; 18 - x^2 Longrightarrow 2x^2 = 18 Longrightarrow x^2 = 9 Longrightarrow x = pm 3
Então a região R fica entre e .

Passo 3

Agora, para cada Rext(x) = 18 - x^2, entre Rint(x) = x^2 e V = pi integral-3^3 l[l(Rext(x)r)^2 ;-;l(Rint(x)r)^2r],dx , a curva de cima é (maior valor) e a de baixo é .
Ao girar em torno do eixo , o raio externo é
e o raio interno é
A fórmula do volume por arruelas é

Passo 4

Vamos montar o integrando:
l(18 - x^2r)^2 ;-;(x^2)^2 = l(324 - 36x^2 + x^4r) ;-; x^4 = 324 ;-; 36x^2
Então a integral vira
V = pi integral-3^3 l(324 - 36x^2r),dx

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral (324),dx = 324x, integral (36x^2),dx = 36;x^33 = 12x^3
Logo,
V = pi l[,324x - 12x^3r]-3^3
Avalia em 324cdot3 - 12cdot3^3 = 972 - 12cdot27 = 972 - 324 = 648 :
324cdot(-3) - 12cdot(-3)^3 = -972 -12cdot(-27) = -972 +324 = -648
Em 648 - (-648) = 1296 :
V = 1296pi
Subtraindo:
Multiplicando por :

Resposta

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