Obtenha o polinômio interpolador, fórmula de Newton, para as funções abaixo, e avalie o erro cometido para o ponto a ser interpolado barx=0,23: f(x)=cos (x)+2 x, x0=0,1, x1=0,3 e x2=0,5.

Passo 1

Beleza, o que a questão manda a gente fazer?
• Tema: interpolação polinomial pela fórmula de Newton e avaliação de erro.
• Dados: , nós em e o ponto .
• Precisamos de:
  1. Calcular os valores .
  2. Montar as diferenças divididas de primeira e segunda ordem.
  3. Escrever o polinômio de Newton .
  4. Avaliar e estimar o erro usando o termo de resto.

Passo 2

Vamos botar a mão na massa e achar as diferenças divididas.
  1. Calcular f0 = f(0.1)=cos(0.1)+2cdot0.1approx0.99500417+0.2=1.19500417, nos pontos: f1 = f(0.3)=cos(0.3)+2cdot0.3approx0.95533649+0.6=1.55533649, f2 = f(0.5)=cos(0.5)+2cdot0.5approx0.87758256+1.0=1.87758256 f[x0,x1]=f1-f0x1-x0 =1.55533649-1.195004170.3-0.1 =0.360332320.2approx1.8016616,
  2. Diferenças divididas de 1ª ordem: f[x1,x2]=f2-f1x2-x1 =1.87758256-1.555336490.5-0.3 =0.322246070.2approx1.61123035

Passo 3

Agora a diferença dividida de 2ª ordem e montamos f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =1.61123035-1.80166160.5-0.1 =-0.190431250.4approx-0.4760781 .
  1. Diferença de 2ª ordem: P2(x) =f0 +f[x0,x1],(x-x0) +f[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1)
  2. Fórmula de Newton para grau 2: P2(x) =1.19500417 +1.8016616,(x-0.1) -0.4760781,(x-0.1)(x-0.3) Substituindo os números:

Passo 4

A gente quer x-0.1=0.23-0.1=0.13, x-0.3=0.23-0.3=-0.07 .
  1. Calcular cada pedaço: P2(0.23) =1.19500417 +1.8016616cdot0.13 -0.4760781cdot(0.13)(-0.07) approx1.19500417+0.2342150+0.0043320 =1.4335512
  2. Então

Passo 5

Resto (erro) da interpolação de grau 2:
R2(x) =f^(3)(xi)3!,(x-x0)(x-x1)(x-x2),
pra algum f(x)=cos x+2x ;Longrightarrow; f'(x)=-sin x+2,; f''(x)=-cos x,; f^(3)(x)=sin x entre |R2(0.23)| <=0.47943!,l|0.13cdot(-0.07)cdot(-0.27)r| =0.47946,(0.13cdot0.07cdot0.27) approx0.0799times0.002457 approx1.96times10^-4 e . Aqui
No intervalo , .
Então, em módulo,

Resposta

Polinômio de Newton de grau 2:
P2(x) =1.19500417 +1.8016616,(x-0.1) -0.4760781,(x-0.1)(x-0.3)
No ponto P2(0.23)approx1.4335512, |R2(0.23)|<=1.96times10^-4 ,

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