Seja f(x)=2 e^x+3 definida no intervalo [0,2]. Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função

L(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)

definida em , e nos pede para investigar “em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado”. Aqui vou assumir que esses “casos” são duas aproximações lineares (Polinômio de Taylor de grau 1) para aproximar :
  1. Aproximação linear em torno de .
  2. Aproximação linear em torno de .

    O conteúdo que vamos usar é o de linearização (Taylor de grau 1):

    Se é diferenciável, a reta tangente em é

A ideia é calcular essas duas retas, avaliar em , comparar com o valor exato e ver qual erro fica menor.

Passo 2

Calcular f(1)=2e^1+3=2e+3, que é o valor real que queremos aproximar:
f(1)approx2cdot2,718+3=5,436+3=8,436
Numericamente, , então

Passo 3

Caso 1: linearização em torno de f(0)=2e^0+3=2cdot1+3=5, f'(x)=2e^x;Longrightarrow;f'(0)=2e^0=2 .
  1. Calcular L0(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=5+2x e L0(1)=5+2cdot1=7 : |,f(1)-L0(1),|=|,8,436-7,|approx1,436
  2. A reta tangente é
  3. Avaliar em :
  4. Erro absoluto nesse caso:

Passo 4

Caso 2: linearização em torno de f(2)=2e^2+3approx2cdot7,389+3=14,778+3=17,778, f'(2)=2e^2approx14,778 .
  1. Calcular L2(x)=f(2)+f'(2)(x-2)=17,778+14,778,(x-2) e L2(1)=17,778+14,778,(1-2) =17,778-14,778=3 : |,f(1)-L2(1),|=|,8,436-3,|approx5,436
  2. A reta tangente é
  3. Avaliar em :
  4. Erro absoluto nesse caso:

Passo 5

Comparando os erros:
  • Erro com : .
  • Erro com : .

    Como o erro é bem menor ao aproximar por volta de , concluímos que a aproximação em torno de 0 é muito melhor para estimar .

Resposta

A melhor aproximação de se obtém usando a reta tangente em , pois o erro ( ) é bem menor do que usando a reta em ( ).

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