Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
e
; eixo
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é entender que temos uma região R no plano xy limitada por duas curvas:
- a parábola x = y²
- a reta x = 2y + 3
E a gente vai girar essa região em torno do eixo y pra formar um sólido. O que precisamos usar é o método de discos (ou “washers”), que consiste em:
- Para cada y entre os limites de R, traçamos um disco “oco” cuja área é π(raio externo² – raio interno²).
- O raio externo é a maior distância de um ponto da região ao eixo y, e o interno é a menor.
- Depois integramos essa área de y = y₁ até y = y₂ para achar o volume.
Passo 2
Primeiro a gente tem que descobrir os limites em y da região R, ou seja, onde as duas curvas se cruzam. Então igualamos:
Essa é uma equação quadrática. Resolvendo:
Logo os dois valores são
Então a região R vai de y = -1 até y = 3.
Passo 3
Agora, para cada valor de y entre -1 e 3, a curva mais à direita é x = 2y + 3 (maior x) e a mais à esquerda é x = y² (menor x).
Quando giramos em torno do eixo y:
Quando giramos em torno do eixo y:
- Raio externo
- Raio interno
A área do “anel” numa fatia de espessura dy é
O volume é
Passo 4
Vamos desenvolver o integrando:
logo
Agora integramos termo a termo:
Aí avaliamos de y = -1 até y = 3:
Em y = 3:
Em y = -1:
Subtraindo:
Então o volume é
Resposta
O volume do sólido obtido pela revolução da região R em torno do eixo y é