Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
x=y^2 e x=2 y+3; eixo y

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é entender que temos uma região R no plano xy limitada por duas curvas:
  1. a parábola x = y²
  2. a reta x = 2y + 3
    E a gente vai girar essa região em torno do eixo y pra formar um sólido. O que precisamos usar é o método de discos (ou “washers”), que consiste em:
  • Para cada y entre os limites de R, traçamos um disco “oco” cuja área é π(raio externo² – raio interno²).
  • O raio externo é a maior distância de um ponto da região ao eixo y, e o interno é a menor.
  • Depois integramos essa área de y = y₁ até y = y₂ para achar o volume.

Passo 2

Primeiro a gente tem que descobrir os limites em y da região R, ou seja, onde as duas curvas se cruzam. Então igualamos:
y^2 = 2y + 3
y^2 - 2y - 3 = 0
Essa é uma equação quadrática. Resolvendo:
y = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm 42
Logo os dois valores são
y = 3 ou y = -1
Então a região R vai de y = -1 até y = 3.

Passo 3

Agora, para cada valor de y entre -1 e 3, a curva mais à direita é x = 2y + 3 (maior x) e a mais à esquerda é x = y² (menor x).
Quando giramos em torno do eixo y:
  • Raio externo A(y) = pil[R(y)^2 - r(y)^2r] = pil[(2y+3)^2 - (y^2)^2r]
  • Raio interno V = integraly=-1^y=3 A(y),dy = pi integral-1^3 l[(2y+3)^2 - y^4r] dy
    A área do “anel” numa fatia de espessura dy é

O volume é

Passo 4

Vamos desenvolver o integrando:
(2y+3)^2 = 4y^2 + 12y + 9,
logo
(2y+3)^2 - y^4 = -y^4 + 4y^2 +12y +9
Agora integramos termo a termo:
integral (-y^4 + 4y^2 +12y +9),dy = -y^55 + 4y^33 +6y^2 +9y + C
Aí avaliamos de y = -1 até y = 3:
Em y = 3:
-3^55 + 4cdot 3^33 +6cdot3^2 +9cdot3 = -2435 + 36 +54 +27 = 585 -2435 = 3425
Em y = -1:
-(-1)^55 + 4(-1)^33 +6cdot(-1)^2 +9(-1) = 15 -43 +6 -9 = -6215
Subtraindo:
l[3425r] - l[-6215r] = 3425 + 6215 = 1026 + 6215 = 108815
Então o volume é
V = pi cdot 108815 = 1088pi15

Resposta

O volume do sólido obtido pela revolução da região R em torno do eixo y é
boxedV = 1088pi15

Exercícios relacionados