Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
e
; eixo
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente desenhar a região R limitada por
- a curva y = 1/x
- as retas horizontais y = 1 e y = 3
- a reta vertical x = 0
e depois calcular o volume obtido ao girar essa região em torno do eixo y.
Isso é conteúdo de Cálculo Integral, mais precisamente Volume de Sólidos de Revolução. Vamos precisar:
- entender como é R no plano xy;
- escolher um método de integração (discos ou cascas);
- montar a integral e resolvê-la.
Passo 2
Primeiro esboço rápido da região:
- A curva y = 1/x está no primeiro quadrante, decrescendo;
- Entre y=1 (abaixo) e y=3 (acima);
- A esquerda, x=0 é o próprio eixo y.
Então, para cada y entre 1 e 3, x vai de 0 até x = 1/y.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo y, fica natural usar o método dos discos (ou anéis).
Teoria rápida: ao girar em torno de y, cada “fatia” horizontal em y gera um disco de raio R(y) igual à distância até a curva mais externa, e espessura dy. O volume é
Teoria rápida: ao girar em torno de y, cada “fatia” horizontal em y gera um disco de raio R(y) igual à distância até a curva mais externa, e espessura dy. O volume é
Passo 4
Aqui R(y) = a maior x da região, ou seja
Logo a área do disco é
E os limites vão de y=1 até y=3:
Passo 5
Agora só calcular a integral:
Sabemos que
Sabemos que
Então
$$
V = \pi\int_{1}^{3} y^{-2},dy
= \pi\Bigl[-,y{-1}\Bigr]_{1}{3}
= \pi\Bigl(-\tfrac{1}{3} + 1\Bigr)
= \pi\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)
= \frac{2\pi}{3}.
= \pi\Bigl[-,y{-1}\Bigr]_{1}{3}
= \pi\Bigl(-\tfrac{1}{3} + 1\Bigr)
= \pi\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)
= \frac{2\pi}{3}.
$$
Resposta
O volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo y é
$