Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
y=1 / x, y=1, y=3 e x=0; eixo y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente desenhar a região R limitada por
  • a curva y = 1/x
  • as retas horizontais y = 1 e y = 3
  • a reta vertical x = 0
    e depois calcular o volume obtido ao girar essa região em torno do eixo y.
    Isso é conteúdo de Cálculo Integral, mais precisamente Volume de Sólidos de Revolução. Vamos precisar:
  1. entender como é R no plano xy;
  2. escolher um método de integração (discos ou cascas);
  3. montar a integral e resolvê-la.

Passo 2

Primeiro esboço rápido da região:
  • A curva y = 1/x está no primeiro quadrante, decrescendo;
  • Entre y=1 (abaixo) e y=3 (acima);
  • A esquerda, x=0 é o próprio eixo y.
    Então, para cada y entre 1 e 3, x vai de 0 até x = 1/y.

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo y, fica natural usar o método dos discos (ou anéis).
Teoria rápida: ao girar em torno de y, cada “fatia” horizontal em y gera um disco de raio R(y) igual à distância até a curva mais externa, e espessura dy. O volume é
V = integraly1^y2 pil(R(y)r)^2,dy

Passo 4

Aqui R(y) = a maior x da região, ou seja
R(y) = 1y
Logo a área do disco é
A(y) = pil(R(y)r)^2 = pil(1yr)^2 = piy^2
E os limites vão de y=1 até y=3:
V = integral1^3 piy^2,dy

Passo 5

Agora só calcular a integral:
Sabemos que
integral y^-2,dy = -,y^-1 + C
Então
$$
V = \pi\int_{1}^{3} y^{-2},dy
= \pi\Bigl[-,y{-1}\Bigr]_{1}{3}
= \pi\Bigl(-\tfrac{1}{3} + 1\Bigr)
= \pi\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)
= \frac{2\pi}{3}.
$$

Resposta

O volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo y é
$

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