Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
e
; eixo
Passo 1
Opa, olha só o que a questão pede: esboçar a região R limitada pelos dois gráficos
e depois girar essa região em torno do eixo
Conteúdo: cálculo de volume por revolução (método dos discos/lavadoras).
Vamos precisar de:
1) achar os pontos de interseção das curvas;
2) entender que, ao girar em torno do eixo
3) montar e calcular a integral entre os limites de interseção.
Passo 2
Primeiro, achamos onde
cruza
. Igualando:
Então a região vai de
até
.
Passo 3
Quando giramos R em torno do eixo
, para cada
fixo a “lavadora” tem:
– raio externo ,
– raio interno .
A área do anel é
– raio externo
– raio interno
A área do anel é
$$A(x)=\pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]
=\pi\bigl[(4 - x2)2 - (x2)2\bigr].
V=\int_{x=-\sqrt2}^{\sqrt2} A(x),dx
=\pi\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\bigl[(4 - x2)2 - x^4\bigr]dx.$$
Passo 4
Vamos simplificar o integrando:
Logo
Repare que a função
Passo 5
Calculemos a integral direta:
Avaliando de
Para
$$16\sqrt2 - \frac{8(\sqrt2)^3}{3}
=16\sqrt2 - \frac{8\cdot2\sqrt2}{3}
=16\sqrt2 - \frac{16\sqrt2}{3}
=\frac{48\sqrt2 -16\sqrt2}{3}
=16\sqrt2 - \frac{16\sqrt2}{3}
=\frac{48\sqrt2 -16\sqrt2}{3}
=\frac{32\sqrt2}{3}.
16(-\sqrt2) - \frac{8(-\sqrt2)^3}{3}
=-16\sqrt2 - \frac{8\cdot(-2\sqrt2)}{3}
=-16\sqrt2 + \frac{16\sqrt2}{3}
=\frac{-48\sqrt2 +16\sqrt2}{3}
=-16\sqrt2 + \frac{16\sqrt2}{3}
=\frac{-48\sqrt2 +16\sqrt2}{3}
=-\frac{32\sqrt2}{3}.
\Bigl(\tfrac{32\sqrt2}{3}\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{32\sqrt2}{3}\Bigr)
=\tfrac{64\sqrt2}{3}.
V = \pi\cdot\frac{64\sqrt2}{3} = \frac{64\sqrt2,\pi}{3}.$$
Resposta
O volume do sólido gerado é
.