Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
y=x^2 e y=4-x^2; eixo x

Passo 1

Opa, olha só o que a questão pede: esboçar a região R limitada pelos dois gráficos
y = x^2e y = 4 - x^2
e depois girar essa região em torno do eixo x para achar o volume do sólido gerado.
Conteúdo: cálculo de volume por revolução (método dos discos/lavadoras).
Vamos precisar de:
1) achar os pontos de interseção das curvas;
2) entender que, ao girar em torno do eixo x, formamos “lavadoras” cuja área é pil[R(x)^2 - r(x)^2r];
3) montar e calcular a integral entre os limites de interseção.

Passo 2

Primeiro, achamos onde x^2 cruza 4 - x^2. Igualando:
x^2 = 4 - x^2 ;Longrightarrow;2x^2 = 4 ;Longrightarrow;x^2 = 2 ;Longrightarrow;x = pmraiz2
Então a região vai de x=-raiz2 até x=+raiz2.

Passo 3

Quando giramos R em torno do eixo x, para cada x fixo a “lavadora” tem:
– raio externo R(x)=yrm topo=4 - x^2,
– raio interno r(x)=yrm baixo=x^2.
A área do anel é
$$A(x)=\pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]
=\pi\bigl[(4 - x2)2 - (x2)2\bigr]. A(x)=pil[R(x)^2 - r(x)^2r] =pil[(4 - x^2)^2 - (x^2)^2r]éV=\int_{x=-\sqrt2}^{\sqrt2} A(x),dx
=\pi\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\bigl[(4 - x2)2 - x^4\bigr]dx.$$

Passo 4

Vamos simplificar o integrando:
(4 - x^2)^2 - x^4 = l(16 - 8x^2 + x^4r) - x^4 =16 - 8x^2
Logo
V = piintegral-raiz2^raiz2(16 - 8x^2),dx
Repare que a função 16-8x^2 é par, então dá pra dobrar de 0 a raiz2 ou seguir direto:

Passo 5

Calculemos a integral direta:
integral(16 - 8x^2),dx = 16x - 8x^33 + C
Avaliando de -raiz2 a +raiz2:
Para x=+raiz2:
$$16\sqrt2 - \frac{8(\sqrt2)^3}{3}
=16\sqrt2 - \frac{8\cdot2\sqrt2}{3}
=16\sqrt2 - \frac{16\sqrt2}{3}
=\frac{48\sqrt2 -16\sqrt2}{3}
=\frac{32\sqrt2}{3}. 16raiz2 - 8(raiz2)^33 =16raiz2 - 8cdot2raiz23 =16raiz2 - 16raiz23 =48raiz2 -16raiz23 =32raiz2316(-\sqrt2) - \frac{8(-\sqrt2)^3}{3}
=-16\sqrt2 - \frac{8\cdot(-2\sqrt2)}{3}
=-16\sqrt2 + \frac{16\sqrt2}{3}
=\frac{-48\sqrt2 +16\sqrt2}{3}
=-\frac{32\sqrt2}{3}. x=-raiz2ç\Bigl(\tfrac{32\sqrt2}{3}\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{32\sqrt2}{3}\Bigr)
=\tfrac{64\sqrt2}{3}. 16(-raiz2) - 8(-raiz2)^33 =-16raiz2 - 8cdot(-2raiz2)3 =-16raiz2 + 16raiz23 =-48raiz2 +16raiz23 =-32raiz23V = \pi\cdot\frac{64\sqrt2}{3} = \frac{64\sqrt2,\pi}{3}.$$

Resposta

O volume do sólido gerado é V = 64raiz2,pi3,.

Exercícios relacionados