Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
e
; eixo
Passo 1
O enunciado pede pra gente esboçar a região R limitada pelas curvas
- y = x²
- y = 2
e depois calcular o volume do sólido que obtém ao girar R em torno do eixo y.
Conteúdo: método dos discos (ou método dos anéis) para volumes de revolução. Vamos precisar expressar a fronteira em função de y e montar um integral ∫π·[raio(y)]² dy.
Passo 2
- Primeiro, achamos onde a parábola y = x² cruza a reta y = 2:
x² = 2 ⇒ x = ±√2. - Para cada y entre 0 e 2, R tem um “fatiamento” horizontal que vai de x = –√y até x = +√y.
- Ao girar esse intervalo em torno do eixo y, cada fatia gera um disco de raio
R(y) = distância do eixo y até a borda = √y.
Não há buraco no meio (raio interno = 0).
Passo 3
Usando o método dos discos, o volume é
Passo 4
Calculando o integral:
Resposta
O volume do sólido gerado é
(unidades cúbicas).