Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
y=x^2 e y=2; eixo y

Passo 1

O enunciado pede pra gente esboçar a região R limitada pelas curvas
  • y = x²
  • y = 2
    e depois calcular o volume do sólido que obtém ao girar R em torno do eixo y.
    Conteúdo: método dos discos (ou método dos anéis) para volumes de revolução. Vamos precisar expressar a fronteira em função de y e montar um integral ∫π·[raio(y)]² dy.

Passo 2

  1. Primeiro, achamos onde a parábola y = x² cruza a reta y = 2:
    x² = 2 ⇒ x = ±√2.
  2. Para cada y entre 0 e 2, R tem um “fatiamento” horizontal que vai de x = –√y até x = +√y.
  3. Ao girar esse intervalo em torno do eixo y, cada fatia gera um disco de raio
    R(y) = distância do eixo y até a borda = √y.
    Não há buraco no meio (raio interno = 0).

Passo 3

Usando o método dos discos, o volume é
V ;=; integraly=0^y=2 pil[R(y)r]^2,dy ;=; integral0^2 pi,l(raizyr)^2,dy ;=; piintegral0^2 y,dy

Passo 4

Calculando o integral:
piintegral0^2y,dy = pi;l[tfracy^22r]0^2 = pi;l(tfrac42-0r) = 2pi

Resposta

O volume do sólido gerado é 2pi (unidades cúbicas).

Exercícios relacionados