Seja f(x)=2 e^x+3 definida no intervalo [0,2]. Aproxime f(0,85) utilizando interpolação linear com x0=0,5 e x1=1.0.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que temos a função
f(x)=2e^x+3
no intervalo [0,2] e que queremos aproximar f(0,85) usando interpolação linear entre dois pontos: x0=0,5 e x1=1,0.
Conteúdo: interpolação linear.
O que a gente vai precisar:
- Calcular y0=f(x0) e y1=f(x1).
- Montar a fórmula da reta que passa por (x0,y0) e (x1,y1).
- Avaliar essa reta em x=0,85.

Passo 2

Primeiro a gente calcula os valores da função nesses pontos:
  • Para x0=0,5:
    y0 = f(0,5) = 2e^0.5 + 3
    Lembra que e^0.5 é a raiz quadrada de eapprox2,71828, ou seja e^0.5approx1,64872.
    Então
    y0 approx 2cdot1,64872 + 3 = 3,29744 + 3 = 6,29744
  • Para x1=1,0:
    y1 = f(1) = 2e^1 + 3 = 2cdot2,71828 + 3 = 5,43656 + 3 = 8,43656

Passo 3

Agora a reta que interpola é dada por
L(x) = y0 + y1 - y0x1 - x0,(x - x0)
Aqui a inclinação (coeficiente angular) é
$$m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}
= \frac{8{,}43656 - 6{,}29744}{1{,}0 - 0{,}5}
= \frac{2{,}13912}{0{,}5}
=4{,}27824.$$
Então
m = y1 - y0x1 - x0 = 8,43656 - 6,297441,0 - 0,5 = 2,139120,5 =4,27824

Passo 4

Basta agora pôr x=0,85:
L(0,85) = 6,29744 + 4,27824,(0,85 - 0,5) =6,29744 + 4,27824cdot0,35 =6,29744 + 1,49738 approx7,79482

Resposta

A aproximação por interpolação linear de f(0,85) é aproximadamente
boxed7,7948

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