Esboce a região e, utilizando integral dupla, encontre a área da região indicada pelas equações em coordenadas polares:
região limitada ao maior laço da curva r=2-4 sen(theta) e exterior ao menor laço

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente esboçar a região determinada pela curva em coordenadas polares

e, usando integral dupla em polares, achar a área da parte que fica dentro do maior laço e fora do menor laço.
Conteúdo: coordenadas polares e fórmula de área em polares
O que vamos precisar:
1) Entender quando a curva gera laço interno (r negativo) e quando gera o laço externo (r positivo);
2) Usar a fórmula da área em polares
r = 2 - 4sen(theta)

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde a curva troca de laço: fazemos

Entre r=0;Longrightarrow;2-4sentheta=0;Longrightarrow;sentheta=tfrac12;Longrightarrow;theta=tfracpi6,;tfrac5pi6 e pi/6, então 5pi/6 (laço interno). Fora desse intervalo (isto é, de sentheta>1/2 até r<0) a gente tem 5pi/6 (laço externo).

Passo 3

Fórmula de área de um setor em polares:
A = 12integraltheta1^theta2 l(r(theta)r)^2,dtheta
Aqui a gente vai calcular a área do laço externo (integrou de 5pi/6 a 11pi/6) e subtrair a área do laço interno (integrou de pi/6 a 5pi/6).

Passo 4

Expandindo r^2:

Como , fica
$$r^2 = 4 -16\sen\theta +16\Bigl(\tfrac12 -\tfrac12\cos2\theta\Bigr)
=4 -16\sen\theta +8 -8\cos2\theta
=12 -16\sen\theta -8\cos2\theta.$$

Passo 5

Integral geral
Agora:
– Área do laço externo
– Área do laço interno

Passo 6

Área da região pedida = área externa − área interna:
$$A = \bigl(6\pi+8\sqrt3\bigr);-;\bigl(4\pi-6\sqrt3\bigr)
=2\pi+14\sqrt3.$$

Resposta

A área da região entre o maior laço e o menor laço de é
r=2-4sentheta

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