Esboce a região e, utilizando integral dupla, encontre a área da região indicada pelas equações em coordenadas polares:
região limitada ao maior laço da curva
e exterior ao menor laço
região limitada ao maior laço da curva
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente esboçar a região determinada pela curva em coordenadas polares
e, usando integral dupla em polares, achar a área da parte que fica dentro do maior laço e fora do menor laço.
Conteúdo: coordenadas polares e fórmula de área em polares
O que vamos precisar:
1) Entender quando a curva gera laço interno (r negativo) e quando gera o laço externo (r positivo);
2) Usar a fórmula da área em polares
Passo 2
Primeiro, vamos achar onde a curva troca de laço: fazemos
Entre
Passo 3
Fórmula de área de um setor em polares:
Aqui a gente vai calcular a área do laço externo (integrou de
Passo 4
Expandindo
:
Como , fica
$$r^2 = 4 -16\sen\theta +16\Bigl(\tfrac12 -\tfrac12\cos2\theta\Bigr)
=4 -16\sen\theta +8 -8\cos2\theta
=12 -16\sen\theta -8\cos2\theta.$$
Passo 5
Integral geral
Agora:
– Área do laço externo
– Área do laço externo
– Área do laço interno
Passo 6
Área da região pedida = área externa − área interna:
$$A = \bigl(6\pi+8\sqrt3\bigr);-;\bigl(4\pi-6\sqrt3\bigr)
=2\pi+14\sqrt3.$$
Resposta
A área da região entre o maior laço e o menor laço de é