Esboce a região e, utilizando integral dupla, encontre a área da região indicada pelas equações em coordenadas polares:
Região dentro da curva
Região dentro da curva
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente esboçar e depois, usando integral dupla em coordenadas polares, achar a área da região definida por
Isso envolve dois tópicos principais de Cálculo:
- Coordenadas polares (transformação de
em ). - Cálculo de área via integral dupla em polares, cujo segredo é
Então a gente vai precisar:
- Entender onde a curva existe (
). - Montar o integral em
certo. - Resolver esse integral e dobrar se for mais de um “lóbulo”.
Passo 2
Primeiro, a gente vê que
só faz sentido real (
) quando
.
ocorre em dois intervalos por período
:
-
(lóbulo da direita) -
(lóbulo da esquerda)
Cada “lóbulo” é uma parte semelhante, só espelhada. Então dá pra calcular a área de um deles e dobrar.
Passo 3
Focando no lóbulo de
até
:
- A curva é
. - A fórmula de área em polares é
Repare que
.
Passo 4
Então o integral vira
Agora integramos:
então
Passo 5
Isso é só de um lóbulo. Como a região inteira tem dois lobos idênticos, a área total é
Resposta
A área da região definida por
é