Esboce a região e, utilizando integral dupla, encontre a área da região indicada pelas equações em coordenadas polares:
Região dentro da curva r^2=4 cos (2 theta)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente esboçar e depois, usando integral dupla em coordenadas polares, achar a área da região definida por
r^2=4cos(2theta)
Isso envolve dois tópicos principais de Cálculo:
  1. Coordenadas polares (transformação de Área=integral duplaRdA =integraltheta1^theta2!integral0^r(theta)r,dr,dtheta =12integraltheta1^theta2r(theta)^2,dtheta em ).
  2. Cálculo de área via integral dupla em polares, cujo segredo é
Á
Então a gente vai precisar:
  • Entender onde a curva existe ( ).
  • Montar o integral em certo.
  • Resolver esse integral e dobrar se for mais de um “lóbulo”.

Passo 2

Primeiro, a gente vê que só faz sentido real ( ) quando .
ocorre em dois intervalos por período :
  1. (lóbulo da direita)
  2. (lóbulo da esquerda)
Cada “lóbulo” é uma parte semelhante, só espelhada. Então dá pra calcular a área de um deles e dobrar.

Passo 3

Focando no lóbulo de Arm lóbulo =integraltheta=-pi/4^pi/4!integralr=0^2raizcos(2theta)r,dr,dtheta =12integral-pi/4^pi/4l(2raizcos(2theta)r)^2,dtheta até :
  • A curva é .
  • A fórmula de área em polares é
ó
Repare que .

Passo 4

Então o integral vira
Arm lóbulo =12integral-pi/4^pi/44cos(2theta),dtheta =2integral-pi/4^pi/4cos(2theta),dtheta ó
Agora integramos:
integralcos(2theta),dtheta =12sin(2theta),
então
Arm lóbulo =2[12sin(2theta)]-pi/4^pi/4 =l[sin(2theta)r]-pi/4^pi/4 =sinl(tfracpi2r)-sinl(-tfracpi2r) =1-(-1)=2 ó

Passo 5

Isso é só de um lóbulo. Como a região inteira tem dois lobos idênticos, a área total é
Arm total=2cdot Arm lóbulo=2cdot2=4 ó

Resposta

A área da região definida por é

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